Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 36
A matriz do Exercício 32.
Passo 1
Show de bolinhas pessoal, na sequência de exercícios anteriores do 29 ao 32, escrevemos as matrizes como um produto de matrizes elementares, só que agora a gente tá afim de encontrar a inversa dessa mesma matriz escrita também na forma de um produto de matrizes. A malandragem aqui é a gente lembrar do Teorema 1.4.6, que diz que “Se e são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então é invertível e ”, e esse teorema se estende pra um produto entre um número maior de matrizes do tipo . Como já descobrimos a matriz escrita na forma de produto de matrizes elementares de modo que, sendo a matriz , temos , . Agora que ficou tudo bonito, vamo aplicar na matriz.
Passo 2
Dada a matriz
Temos que ela escrita na forma de produto de matrizes elementares é
Logo
Então agora só precisamos encontrar a inversa dessas matrizes elementares, só que a inversa de uma matriz elementar também é elementar, logo nossa inversa também já vai estar escrita como um produto de matrizes elementares. E outro detalhe muito importante é que como queremos inverter uma matriz elementar, é só descobrirmos a operação elementar dela, sua inversa vai ser justamente a matriz que desfaz a operação.
Passo 3
Dessa forma as inversas vão ser
Ou seja, se a matriz somava a linha 1 à linha 2, a sua inversa agora vai subtrair essa mesma linha. Da mesma maneira vai acontecer com as outras matrizes e operações elementares.
Passo 4
Show de bolotas, agora já temos a matrizes elementares que definem a inversa da nossa matriz, dessa forma temos que