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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 34

A matriz do Exercício 30.

[[[1,0],[-,5,2]]]

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, na sequência de exercícios anteriores do 29 ao 32, escrevemos as matrizes como um produto de matrizes elementares, só que agora a gente tá afim de encontrar a inversa dessa mesma matriz escrita também na forma de um produto de matrizes. A malandragem aqui é a gente lembrar do Teorema 1.4.6, que diz que “Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então A B é invertível e (A B)^(- 1) = B^(- 1) A^(- 1) ”, e esse teorema se estende pra um produto entre um número maior de matrizes do tipo (A B C)^(- 1) = C^(- 1) B^(- 1) A^(- 1) . Como já descobrimos a matriz escrita na forma de produto de matrizes elementares de modo que, sendo a matriz X , temos X = A B , X^(- 1) = (A B)^(- 1) = B^(- 1) A^(- 1) . Agora que ficou tudo bonito, vamo aplicar na matriz.

Passo 2

Dada a matriz

[[[1,0],[-,5,2]]]

Temos que ela escrita na forma de produto de matrizes elementares é

[[[1,0],[-,5,2]]] = [[[1,0],[-,5,1]]] [[[1,0],[0,2]]]

Logo

[[[1,0],[-,5,2]]]^(- 1) = ([[[1,0],[-,5,1]]] [[[1,0],[0,2]]])^(- 1) =>

[[[1,0],[-,5,2]]]^(- 1) = [[[1,0],[0,2]]]^(- 1) [[[1,0],[-,5,1]]]^(- 1)

Então agora só precisamos encontrar a inversa dessas matrizes elementares, só que a inversa de uma matriz elementar também é elementar, logo nossa inversa também já vai estar escrita como um produto de matrizes elementares. E outro detalhe muito importante é que como queremos inverter uma matriz elementar, é só descobrirmos a operação elementar dela, sua inversa vai ser justamente a matriz que desfaz a operação.

Passo 3

Dessa forma as inversas vão ser

[[[1,0],[0,2]]]^(- 1) = [[[1,0],[0,(1)/(2)]]]

Ou seja, se a matriz multiplicava a linha 2, a sua inversa agora vai dividir essa mesma linha. Da mesma maneira vai acontecer com as outras matrizes e operações elementares.

[[[1,0],[-,5,1]]]^(- 1) = [[[1,0],[5,1]]]

Passo 4

Show de bolotas, agora já temos a matrizes elementares que definem a inversa da nossa matriz, dessa forma temos que

[[[1,0],[-,5,2]]]^(- 1) = [[[1,0],[0,(1)/(2)]]] [[[1,0],[5,1]]] = [[[1,0],[(5)/(2),(1)/(2)]]]

Resposta

[[[1,0],[-,5,2]]]^(- 1) = [[[1,0],[0,(1)/(2)]]] [[[1,0],[5,1]]] = [[[1,0],[(5)/(2),(1)/(2)]]]

Ver Outros Exercícios desse livro

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[[[1,2,0],[2,1,2],[0,2,1]]]
[[[1,4],[2,7]]]
[[[3,4,-,1],[1,0,3],[2,5,-,4]]]
Em cada parte, decida se a matriz é elementar.[[[1,0],[-,5,1]]] [[[-,5,1],[1,0]]] [[[1,1,0],[0,0,1],[0,0,0]]] [[[2,0,0,2],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]]
Em cada parte, decida se a matriz é elementar.[[[1,0],[0,sqrt(3)]]] [[[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]]] [[[1,0,0],[0,1,9],[0,0,1]]] [[[-,1,0,0],[0,0,1],[0,1,0]]]