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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 42

Prove que se A for uma matriz invertível e B for equivalente por linhas a A então B também é invertível.

Passo 1

Show de boletas, a gente sabe que pra uma matriz ser equivalente por linhas a outra, ela precisa através de operações elementares assumir a forma da matriz em questão, e essas operações elementares podem ser representadas por matrizes elementares.

Passo 2

Sabendo disso, suponha que nossa matriz A seja

A = M ⏝ m a t r i z   q u e   r e p r e s e n t a   a s   o p e r a ç õ e s   r e a l i z a d a s   e m   B × B

Onde M é a matriz que representa todas as operações elementares que aplicamos em B para que ela se torne A .

Passo 3

Como A é invertível, temos que

A = M B ⇒ A - 1 A ⏝ I = A - 1 M B ⇒

⇒ I = A - 1 M B ⇒ I B - 1 ⏝ B - 1 = A - 1 M B B - 1 ⏝ I ⇒

⇒ B - 1 = A - 1 M

Logo B é invertível e

B - 1 = A - 1 M

Onde M é a matriz que representa todas as operações elementares que aplicamos em B para que ela se torne A .

Resposta

Demonstração

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