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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 8

Determinar uma base ortonormal de W, onde W é o sub- -espaço de R 4 dado por W   =   {   ( x ,   y ,   z ,   t )   :   x   +   y   = 0     e   2 x   +   z   =   y   } .

Passo 1

Vamos primeiramente, escrever um vetor típico de W com ajuda das equações do sub espaço vetorial, sabemos que:

x   +   y   = 0 ⇒   x = - y

Podemos aplicar que x = - y na segunda equação e descobrir o valor de z em função de x:

2 x   +   z   =   y   ⇒   2 x + z = - x   ⇒   z = - 3 x

Podemos então escrever um vetor tipicamente de W como sendo ( x , - x , - 3 x , t ) .

Passo 2

Vamos agora encontrar uma base de W. Decompondo o vetor ( x , - x , - 3 x , t ) :

( x , - x , - 3 x , t ) = x   ( 1 , - 1 , - 3 , 0 ) + t   ( 0,0 , 0,1 )

Logo { ( 1 , - 1 , - 3 , 0 )   ,   ( 0,0 , 0,1 ) } é uma base de W.

Passo 3

Vamos aplicar o processo de Gram- Schmidt nessa base, a fim de obter uma base ortonormal:

Seja u 1 = ( 1 , - 1 , - 3 , 0 )     e     u 2 = ( 0,0 , 0,1 ) e seja { g 1 , g 2 } a base procurada:

  • g 1 = u 1 u 1 = ( 1 , - 1 , - 3 , 0 ) 1 2 + 1 ² + 3 ² = ( 1 11 , - 1 11 , - 3 11 , 0 )
  • v 2 = u 2 - < u 2 , g 1 > g 1

v 2 = ( 0,0 , 0,1 ) - 0 . g 1

v 2 = ( 0,0 , 0,1 )

  • g 2 = u 2 u 2 = ( 0,0 , 0,1 ) 1 ² = ( 0,0 , 0,1 )

Assim temos que { g 1 , g 2 } = { ( 1 11 , - 1 11 , - 3 11 , 0 ) , ( 0,0 , 0,1 ) } é uma base ortonormal em W.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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