Se A é uma matriz nxn e A k = 0 , para k um inteiro positivo, mostre que

( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão?

Primeiro, temos que saber algumas propriedades matriciais:

A n = A ∙ A ∙ … ∙ A , n vezes;

A B + C = A B + A C ;

O produto matricial pode ou não ser comutativo, ou seja, A B ≠ B A ;

O produto de uma matriz pela matriz identidade é a própria matriz, ou seja, A ∙ I n = A ;

O produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Passo 2

Sabendo que A ∙ A - 1 = I n , podemos escrever que:

I n - A ∙ I n - A - 1 = I n

Para averiguarmos que

( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Vamos substituir:

I n - A ∙ ( I n + A + A 2 + … + A k - 1 ) = I n

Caso a igualdade seja verdadeira, saberemos que a definição de ( I n - A ) - 1   está correta.

Passo 3

Pela distributiva, podemos afirmar que:

I n - A ∙ I n + A + A 2 + … + A k - 1 = I n ∙ I n + A + A 2 + … + A k - 1 - A ∙ I n + A + A 2 + … + A k - 1

Distribuindo os produtos novamente:

I n ∙ I n + I n ∙ A + I n ∙ A 2 + … + I n ∙ A k - 1 - A ∙ I n + A ∙ A + A ∙ A 2 + … + A ∙ A k - 1 = I n

Perceba que o segundo termo é negativo, então, distribuindo o sinal negativo:

I n ∙ I n + I n ∙ A + I n ∙ A 2 + … + I n ∙ A k - 1 - A ∙ I n - A ∙ A - A ∙ A 2 - … - A ∙ A k - 1 = I n

Como A ∙ I n = A , e utilizando as propriedades de exponenciais, podemos reescrever a linha acima como:

I n 2 + A + A 2 + … + A k - 1 - A - A 2 - A 3 - … - A k = I n

Note que os termos do “meio” se cancelam, como A - A ,   A 2 - A 2 … A k - 1 - A k - 1 , assim, resulta-se em:

I n 2 - A k = I n

Dado que A k = 0 :

I n 2 = I n

Que confere pelas propriedades da matriz identidade. Assim, como averiguamos que

I n - A ∙ ( I n + A + A 2 + … + A k - 1 ) = I n

Então

( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da questão.

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