Enunciado

Se A é uma matriz nxn e A k = 0 , para k um inteiro positivo, mostre que

( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão?

Primeiro, temos que saber algumas propriedades matriciais:

A n = A ∙ A ∙ … ∙ A , n vezes;

A B + C = A B + A C ;

O produto matricial pode ou não ser comutativo, ou seja, A B ≠ B A ;

O produto de uma matriz pela matriz identidade é a própria matriz, ou seja, A ∙ I n = A ;

O produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, A ∙ A - 1 = A - 1 ∙ A = I n .

Passo 2

Sabendo que A ∙ A - 1 = I n , podemos escrever que:

I n - A ∙ I n - A - 1 = I n

Para averiguarmos que

( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Vamos substituir:

I n - A ∙ ( I n + A + A 2 + … + A k - 1 ) = I n

Caso a igualdade seja verdadeira, saberemos que a definição de ( I n - A ) - 1   está correta.

Passo 3

Pela distributiva, podemos afirmar que:

I n - A ∙ I n + A + A 2 + … + A k - 1 = I n ∙ I n + A + A 2 + … + A k - 1 - A ∙ I n + A + A 2 + … + A k - 1

Distribuindo os produtos novamente:

I n ∙ I n + I n ∙ A + I n ∙ A 2 + … + I n ∙ A k - 1 - A ∙ I n + A ∙ A + A ∙ A 2 + … + A ∙ A k - 1 = I n

Perceba que o segundo termo é negativo, então, distribuindo o sinal negativo:

I n ∙ I n + I n ∙ A + I n ∙ A 2 + … + I n ∙ A k - 1 - A ∙ I n - A ∙ A - A ∙ A 2 - … - A ∙ A k - 1 = I n

Como A ∙ I n = A , e utilizando as propriedades de exponenciais, podemos reescrever a linha acima como:

I n 2 + A + A 2 + … + A k - 1 - A - A 2 - A 3 - … - A k = I n

Note que os termos do “meio” se cancelam, como A - A ,   A 2 - A 2 … A k - 1 - A k - 1 , assim, resulta-se em:

I n 2 - A k = I n

Dado que A k = 0 :

I n 2 = I n

Que confere pelas propriedades da matriz identidade. Assim, como averiguamos que

I n - A ∙ ( I n + A + A 2 + … + A k - 1 ) = I n

Então

( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da questão.

Gostou da resolução? Responde Aí!

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz 3 x 3. Suponha que X =1 - 2 3 é a solução do sistema homogêneo AX = 0̅ ̅. A matriz A é singular ou não? Justifique.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes: 1 2 3 1 1 2 0 1 1