Se A é uma matriz nxn e A k = 0 , para k um inteiro positivo, mostre que ( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1

Enunciado

Vamos lá para mais uma questão?

Primeiro, temos que saber algumas propriedades matriciais:

, n vezes;

;

O produto matricial pode ou não ser comutativo, ou seja, ;

O produto de uma matriz pela matriz identidade é a própria matriz, ou seja, ;

O produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, .

Sabendo que , podemos escrever que:

Para averiguarmos que

Vamos substituir:

Caso a igualdade seja verdadeira, saberemos que a definição de está correta.

Pela distributiva, podemos afirmar que:

Distribuindo os produtos novamente:

Perceba que o segundo termo é negativo, então, distribuindo o sinal negativo:

Como , e utilizando as propriedades de exponenciais, podemos reescrever a linha acima como:

Note que os termos do “meio” se cancelam, como , assim, resulta-se em:

Dado que :

Que confere pelas propriedades da matriz identidade. Assim, como averiguamos que

Então

Demonstração ao longo dos passos da questão.

Gostou da resolução? Responde Aí!