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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 18

Sejam A e P matrizes nxn, sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ ( A ) .

Passo 1

Pelas propriedades dos determinantes (o teorema de Binet), temos que:

det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ ( P )

Passo 2

Sabemos, ainda, que

det ⁡ P - 1 =   1 det ⁡ ( P )

Dessa forma, realizando a multiplicação:

det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ P = 1 det ⁡ P   ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ ( P )

Podemos reescrever isso como:

det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ P = det ⁡ A ∙ det ⁡ ( P ) det ⁡ P  

E, por fim:

det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ P = det ⁡ A ∙ 1

Assim, provamos que:

det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ ( A )

Resposta

Prova no passo 2.

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Mostre que se prop é um escalar e A é uma matriz n x n , então det (prop A) = prop^n d e t ( A )
Mostre que A ,n x n , é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Sejam A e P matrizesn x n , sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) .
Se A e B são matrizes n x n tais que det (A) = - 2 e d e t (B) = 3 , calcule det (A^t B^(- 1)) .
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 + a 1 2 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 2 1 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 3 1 - a 32 a 33