Sejam A e P matrizes nxn, sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ ( A ) .

Passo 1

Pelas propriedades dos determinantes (o teorema de Binet), temos que:

det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ ( P )

Passo 2

Sabemos, ainda, que

det ⁡ P - 1 =   1 det ⁡ ( P )

Dessa forma, realizando a multiplicação:

det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ P = 1 det ⁡ P   ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ ( P )

Podemos reescrever isso como:

det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ P = det ⁡ A ∙ det ⁡ ( P ) det ⁡ P  

E, por fim:

det ⁡ P - 1 ∙ det ⁡ A ∙ det ⁡ P = det ⁡ A ∙ 1

Assim, provamos que:

det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ ( A )

Resposta

Prova no passo 2.

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