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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 2

A matriz 1 - 2 3 0 4 - 8 12 0 - 1 2 - 3 0 representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana pra resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.

Passo 1

O enunciado já determinou qual método para resolução do sistema vamos utilizar. Como o sistema 1 - 2 3 0 4 - 8 12 0 - 1 2 - 3 0 representa uma matriz aumentada, temos que seu sistema de equações é:

1 x 1 + 4 x 2 = - 1 - 2 x 1 - 8 x 2 = 2 3 x 1 + 12 x 2 = - 3 0 x 1 + 0 x 2 = 0

x 1 + 4 x 2 = - 1 - 2 x 1 - 8 x 2 = 2 3 x 1 + 12 x 2 = - 3 0 x 1 + 0 x 2 = 0

Vamos descrevê-lo assim para sabermos quais variáveis estamos utilizando e quais podemos usar de parâmetro.

Passo 2

Para resolvermos esse sistema, vamos voltar à sua matriz ampliada e utilizar da eliminação gaussiana

1 - 2 3 0 4 - 8 12 0 - 1 2 - 3 0     → L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1       1 0 0 0 4 0 0 0 - 1 0 0 0

Passo 3

Vamos reescrever a matriz 1 0 0 0 4 0 0 0 - 1 0 0 0 como um sistema linear

1 x 1 + 4 x 2 = - 1 0 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + 0 x 2 = 0

Quando olhamos o sistema resultante da matriz escalonada, vemos que são duas equações e quatro incógnitas. Portanto, para chegarmos a uma solução, vamos escolher uma incógnita e dar um parâmetro a ela (parametrização).

Nesse caso, vamos escolher a incógnitas x 2 e parametrizar:

x 2 = s

Passo 4

Após a parametrização, vamos substituir no sistema de equações e isolar a incógnitas x 1 .

(vamos escolher, preferencialmente, as incógnitas que estão multiplicadas pelo coeficiente 1 para serem isoladas)

1 x 1 + 4 s = - 1 0 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + 0 x 2 = 0

Isolando x 1 :

x 1 + 4 s = - 1

x 1 = - 1 - 4 s

Resposta

Portanto, a solução é dada por: x 1 = - 1 - 4 s

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