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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 6

Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x ' e y ' em termos de x e y .

x = c o s ⁡ ( θ ) x ' - s i n ⁡ ( θ ) y ' y = sin ⁡ θ x ' - c o s ⁡ ( θ ) y '

Passo 1

Esse sistema de equações tem x ' e y ' como incógnitas, x e y como coeficiente independente e pode ser escrito como uma matriz ampliada tal que:

c o s ⁡ ( θ ) - s e n ⁡ ( θ ) x s e n ⁡ ( θ ) - c o s ⁡ ( θ ) y

Passo 2

Para resolvermos esse sistema, vamos usa da eliminação de Gauss-Jordan

cos ⁡ θ - se n ⁡ θ x se n ⁡ θ - cos ⁡ θ y     → L 1 → 1 cos ⁡ θ L 1       1 - se n ⁡ θ cos ⁡ θ x cos ⁡ θ se n ⁡ θ - cos ⁡ θ y

1 - se n ⁡ θ cos ⁡ θ x cos ⁡ θ se n ⁡ θ - cos ⁡ θ y → L 2 → L 2 - s e n θ cos ⁡ θ L 1 1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ x cos ⁡ θ 0 s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ - s e n θ cos ⁡ θ x + y

1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ x cos ⁡ θ 0 s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ - s e n θ cos ⁡ θ x + y → L 2 → cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ L 2

1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ x cos ⁡ θ 0 1 - s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ x + cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y

1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ x cos ⁡ θ 0 1 - s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ x + cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y → L 1 → L 1 + s e n θ cos ⁡ θ L 2

1 0 - cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ x + s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y 0 1 - s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ x + cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y

Passo 3

Vamos reescrever a matriz 1 0 - cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ x + s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y 0 1 - s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ x + cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y como um sistema linear

x ' = - cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ x + s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y y ' = - s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ x + cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y

Resposta

Portanto, a solução do sistema é dada por:   x ' = - cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ x + s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y y ' = - s e n θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ x + cos ⁡ θ s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ y

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