Enunciado

Obtenha a tripla de coordenadas do vetor que tem norma 3 , é ortogonal a ( 1 ,   1 ,   0 ) e a ( - 1 ,   0 ,   1 ) , e forma ângulo obtuso com ( 0 ,   1 ,   0 ) .

Passo 1

Queremos achar o vetor ( x , y , z ) de norma 3 que é ortogonal a ( 1 ,   1 ,   0 ) e a v → = ( - 1 ,   0 ,   1 ) . Assim, devemos ter

x , y , z ⋅ 1 ,   1 ,   0 = 0 ⇒ x + y = 0

x , y , z ⋅ - 1 ,   0 ,   1 = 0 ⇒ - x + z = 0

Obtemos então

y = - x             e           z = x

Portanto,

x , y , z = ( x ,   - x ,   x )

Passo 2

Como a norma do vetor é 3 , temos que

x 2 + - x 2 + x 2 = 3

Elevando a equação ao quadrado:

3 x 2 = 3 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ± 1

Assim, os possíveis vetores pedidos são:

1 ,   - 1 ,   1             e           ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 3

Queremos que o vetor pedido faça um ângulo obtuso com o vetor ( 0 ,   1 ,   0 ) , de modo que o produto escalar deve ser negativo:

1 ,   - 1 ,   1 ⋅ 0 ,   1 ,   0 = - 1 < 0

- 1 ,   1 ,   - 1 ⋅ 0 ,   1 ,   0 = 1 > 0

Assim, nossa resposta deve ser

( 1 ,   - 1 ,   1 )

Resposta

( 1 ,   - 1 ,   1 )

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