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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 17

Mostrar com um exemplo que se U , V   e W são subespaços vetoriais do mesmo espaço e se valem as relações U ∩ V = U ∩ W e U + V = U + W , não se tem necessariamente V = W .

Passo 1

Vamos lá! Seja o espaço vetorial R 2 .

Tomemos os subespaços U , V e W abaixo.

Conjunto U :

U = x , y       x = 0 }  

Ou seja, se tomarmos u ∈ U então

u = ( 0 , y )

O conjunto V :

V = x , y       y = 0 }  

Ou seja, se tomarmos v ∈ V então

v = ( x , 0 )

E, por fim, o conjunto W :

W = x , y       x = y }  

Ou seja, se tomarmos w ∈ W então

w = ( t , t )

Beleza?

Passo 2

Dessa forma,

U ∩ V = { 0,0 }

e

U ∩ W = { 0,0 }

Assim,

U ∩ V = U ∩ W

Passo 3

Fazendo agora

U + V = 0 , y + x , 0 = ( x , y )

e

U + W = 0 , y + t , t = ( t , y + t )

Note que U + V = U + W   (os dois são o próprio R 2 ) . Beleza?

Assim,

U ∩ V = U ∩ W e U + V = U + W com V ≠ W .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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