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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 6

Seja V um espaço vetorial. Dado um subconjunto S ≠ 0 de V , provar que a interseção de todos os subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V , sendo o menos subespaço de V que contém S .

Passo 1

Considere que S ⊂ S 1 , S ⊂ S 2 , … ,   S ⊂ S n . O que queremos provar é que S 1 ∩ S 2 ∩ … ∩ S n é um subespaço vetorial.

Como S 1 , S 2 , … , S n são por si só subespaços vetoriais, segue que 0 está contido em cada um desses elementos (lembre-se de que o vetor nulo sempre estará contido em um subespaço vetorial).

Então, há pelo menos um elemento em S 1 , S 2 , … , S n (que é o 0).

Agora, se u , v ∈   S 1 , S 2 , … , S n então é claro que u + v ∈   S 1 , S 2 , … , S n pois caso contrário eles não seriam subespaços vetoriais.

Então, como u + v pertence a todos esses S 1 , S 2 , … , S n , então é claro que u + v ∈ S 1 ∩ S 2 ∩ … ∩ S n . Beleza?

Da mesma forma, prova-se que se k u ∈ S 1 ∩ S 2 ∩ … ∩ S n   ( o n d e   k   ∈ R )   .  

Logo, provamos que S 1 ∩ S 2 ∩ … ∩ S n é um subespaço vetorial.

Passo 2

Para provar que é o menor subespaço de V que contém S vamos considerar W   o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de vetores em   S . W é um subespaço de V (é possível mostrar isso!) Beleza?

Seja W ' um subespaço qualquer de V que contenha os vetores em S . Como W ' é fechado na adição e na multiplicação (por escalar por ser um subespaço), contém todas as combinações lineares de vetores em S e, portanto, contém W .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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