Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 6

Seja um espaço vetorial. Dado um subconjunto de , provar que a interseção de todos os subespaços vetoriais de que contém também é um subespaço vetorial de , sendo o menos subespaço de que contém .

Passo 1

Considere que . O que queremos provar é que é um subespaço vetorial.

Como são por si só subespaços vetoriais, segue que está contido em cada um desses elementos (lembre-se de que o vetor nulo sempre estará contido em um subespaço vetorial).

Então, há pelo menos um elemento em (que é o 0).

Agora, se então é claro que pois caso contrário eles não seriam subespaços vetoriais.

Então, como pertence a todos esses , então é claro que . Beleza?

Da mesma forma, prova-se que se

Logo, provamos que é um subespaço vetorial.

Passo 2

Para provar que é o menor subespaço de que contém vamos considerar o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de vetores em. é um subespaço de (é possível mostrar isso!) Beleza?

Seja um subespaço qualquer de que contenha os vetores em Como é fechado na adição e na multiplicação (por escalar por ser um subespaço), contém todas as combinações lineares de vetores em e, portanto, contém

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostrar que o espaço vetorial R ∞ não é finitamente gerado.

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 : U = x , y , x x - 2 y = 0 } V = x , y , x x + z = 0ex - 2 y = 0 } W = x , y , x x + 2 y - 3 z = 0 } U ∩ V V + W

Mostrar que os dois conjuntos { 1 , - 1,2 , 3,0 , 1 } e - 1 , - 2,3 , ( 3,3 , - 4 ) geram o mesmo sub-espaço vetorial do R 3 .

Mostrar que os polinômios 1 - t ,1 - t 2 , 1 - t 3 e 1 geram P 3 R .

Sejam U , VeW os seguintes subespaços de R 3 : U = x , y , z x = z } V = x , y , z x = y = 0 } W = x , y , z x + y + z = 0 } Verifique que U + V = R 3 , U + W = R 3 e V + W = R 3 . Em alguns dos casos