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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 7

Mostrar que os polinômios 1 , 1 + t , 1 - t ² e 1 - t - t^2 - t ³ formam uma base de P_3 ( R ) .

Passo 1

Show de bolinhas galera, sabemos que um polinômio geral de P_3 ( R ) é dado por a + b t + c t^2 + d t ³ , logo uma base desse espaço é { 1 , t , t^2 , t^3 } , isto é, precisamos de 4 polinômios para gerar P_3 ( R ) então resta saber se 1 , 1 + t , 1 - t ² e 1 - t - t^2 - t ³ são polinômios independentes. Só que a gente já tá malandrão pra fazer esse processo com vetores, não com polinômios, então bora passar esses polinômios pra forma vetorial e sentá-lo-eis a madeirada.

Passo 2

Escrevendo esses polinômios como vetores na base { 1 , t , t^2 , t^3 } , temos

1 = (1 , 0 , 0 , 0)

1 + t = (1 , 1 , 0 , 0)

1 - t^2 = ( 1 , 0 , - 1 , 0 )

1 - t - t^2 - t^3 = ( 1 , - 1 , - 1 , - 1 )

Agora que ficou tudo bonito, é só a gente escalonar a matriz formada com esses vetores nas linhas.

Passo 3

E a matriz desses vetores é

A = [[[1,0,0,0],[1,1,0,0],[1,0,-,1,0],[1,-,1,-,1,-,1]]]

Só que agora que vem a malandragem, porque não precisamos nem escalonar essa matriz, note que ela é uma matriz triangular superior, isto é, todos os elementos acima da diagonal principal são zeros, quando isso acontece, implica que todas as linhas da matriz são linearmente independentes e logo todos os 4 polinômios são linearmente independentes, o que faz com que dimensão do conjunto {1 , 1 + t , 1 - t^2 , 1 - t - t^2 - t^3} seja igual a 4 exatamente igual a dimensão de P_3 (R) , logo P_3 (R) = {1 , 1 + t , 1 - t^2 , 1 - t - t^2 - t^3} .

Resposta

Demonstração.

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