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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 11

Para que valores de a ∈ R o seguinte conjunto é uma base de R 3 :

B = { a ,   1 ,   0 ,   1 ,   a ,   1 ,   0 ,   1 ,   a }

Passo 1

MecBrother galera, sabemos que pra esse conjunto ser uma base de R 3 além dele gerar o espaço, todos vetores precisam ser necessariamente independentes, então bora montar uma matriz com esses vetores e ver se eles são tudo isso mesmo.

Passo 2

O conjunto dado é B = { a ,   1 ,   0 ,   1 ,   a ,   1 ,   0 ,   1 ,   a } e passando para uma matriz, temos

B = a 1 0 1 a 1 0 1 a

E escalonando agora temos

a 1 0 1 a 1 0 1 a ⇒ L 1 = L 1 - a L 2     = 0 1 - a 2 - a 1 a 1 0 1 a ⇒ L 1 = L 1 + L 3     = 0 2 - a 2 0 1 a 1 0 1 a

    L 3 = L 3 - 1 2 - a 2 L 1 = 0 2 - a ² 0 1 a 1 0 0 a ⇒ L 1 ⇔ L 2     = 1 a 1 0 2 - a ² 0 0 0 a

Então para esse conjunto ser linearmente independente, não podemos ter nenhuma linha de zeros, então da terceira linha, temos que a ≠ 0 , e da segunda linha temos

2 - a 2 ≠ 0

a 2 ≠ 2 ⇒ a ≠ ± 2

Resposta

a ≠ 0 ,   a ≠ ± 2

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