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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 4

Achar uma base e a dimensão do seguinte sub-espaço de R 4 : U = x ,   y ,   z ,   t x - y = 0   e   x + 2 y + t = 0 .

Passo 1

Show de buelas galeris, temos que

x - y = 0 ⇒ x = y

E

x + 2 y + t = 0 ⇒ y + 2 y + t = 0 ⇒ t = - 3 y

Então podemos escrever x ,   y ,   z ,   t em função das únicas duas variáveis presentes y e z

x ,   y ,   z ,   t = y ,   y ,   z ,   - 3 y = y ,   y ,   0 ,   - 3 y + 0 ,   0 ,   z ,   0 = 1 ,   1 ,   0 ,   - 3 y + 0 ,   0 ,   1 ,   0 z

Portanto

U = 1 ,   1 ,   0 ,   - 3 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0

E como temos apenas dois vetores na base, dim ⁡ U = 2

Resposta

U = 1 ,   1 ,   0 ,   - 3 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0

dim ⁡ U = 2

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Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,2 ,1 ,0 ,- 1 ,1 ,0 ,1 ,( 1 ,5 ,2 ,1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços:
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por
Seja p n o subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a n .a) Mostre que existe um subespaço w 2 de p , tal quep = p n ⊕ w 2 .b) Seja w 3 um subespaço de p n . Seja { p 0 , … , p k } uma base de