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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 8

Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:

  1. x - y = 0 2 x - 3 y = 0 3 x + 1 2 y = 0
  2. x + y + z = 0 2 x - y - 2 z = 0 x + 4 y + 5 z = 0
  3. 2 x - 2 y + z = 0 3 x - y + 3 z = 0 3 y + 4 z = 0
  4. x - y - z - t = 0 3 x - y + 2 z - 4 t = 0 2 y + 5 z + t = 0

Passo 1

Belezuca galera, pra descobrirmos quem é o espaço solução desse sistema bora passar ele pra forma de matriz e escalonar que a gente descobre tudinho sobre ele, então partiu.

Passo 2

Na letra (a) temos o sistema

x - y = 0 2 x - 3 y = 0 3 x + 1 2 y = 0 = 1 - 1 2 - 3 3 1 2 0 0 0

Escalonando

1 - 1 2 - 3 3 1 2 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1 L 3 = L 3 - 3 L 1 = 1 - 1 0 - 1 0 7 2 0 0 0 ⇒ L 1 = L 1 - L 2     L 3 = L 3 + 7 2 L 1 = 1 0 0 - 1 0 0 0 0 0 = x - 0 y = 0 0 x - y = 0 0 x + 0 y = 0

Logo temos que a solução para o sistema é a trivial, x = y = 0 , S = 0 .

Passo 3

Na letra (b), a gente tem o sistema

x + y + z = 0 2 x - y - 2 z = 0 x + 4 y + 5 z = 0 = 1 1 1 2 - 1 - 2 1 4 5 0 0 0

Escalonando

1 1 1 2 - 1 - 2 1 4 5 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1 L 3 = L 3 - L 1 = 1 1 1 0 - 3 - 4 0 3 4 0 0 0

⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 1 1 0 - 3 - 4 0 0 0 0 0 0

Logo da segunda linha tiramos que - 3 y - 4 z = 0 , y = - 4 3 z e agora substituindo esse resultado na primeira linha temos que

x + y + z = 0 ⇒ x - 4 3 z + z = 0

x = 1 3 z

Portanto o espaço solução desse sistema é dado por S = 1 3 z ,   - 4 3 z ,   z , S = 1 ,   - 4 ,   3 . Como só temos um vetor na base, dim ⁡ S = 1 .

Passo 4

Agora na letra (c) temos o sistema

2 x - 2 y + z = 0 3 x - y + 3 z = 0 3 y + 4 z = 0 = 2 - 2 1 3 - 1 3 0 3 4 0 0 0

Escalonando

2 - 2 1 3 - 1 3 0 3 4 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 3 2 L 1   = 2 - 2 1 0 2 3 2 0 3 4 0 0 0

⇒     L 3 = L 3 - 3 2 L 2 = 2 - 2 1 0 2 3 2 0 0 7 4 0 0 0

Então temos que as 3 linhas são L.I, isso quer dizer que a única solução é a trivial, x = y = z = 0 , S = 0 .

Passo 5

E por último temos o sistema

x - y - z - t = 0 3 x - y + 2 z - 4 t = 0 2 y + 5 z + t = 0 = 1 - 1 - 1 - 1 3 - 1 2 - 4 0 2 5 1 0 0 0

Escalonando

1 - 1 - 1 - 1 3 - 1 2 - 4 0 2 5 1 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 3 L 1   = 1 - 1 - 1 - 1 0 2 5 - 1 0 2 5 1 0 0 0

⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 - 1 - 1 - 1 0 2 5 - 1 0 0 0 2 0 0 0

Logo da última linha tiramos que t = 0 , substituindo na segunda linha temos que

0 x + 2 y + 5 z - t = 0 ⇒ 2 y + 5 z - 0 = 0

y = - 5 2 z

E colocando esses dois resultados na primeira linha

x - y - z - t = 0 ⇒ x + 5 2 z - z - 0 = 0

x = - 3 2 z

Portanto a solução é dada por S = - 3 2 z ,   - 5 2 z ,   z ,   0 ⇒ S = - 3 ,   - 5 ,   2 . E como só temos um vetor na base de S , dim ⁡ S = 1 .

Resposta

  1. S = 0 , dim ⁡ S = 0 .
  2. S = 1 ,   - 4 ,   3 , dim ⁡ S = 1 .
  3. S = 0 , dim ⁡ S = 0 .
  4. S = - 3 ,   - 5 ,   2 , dim ⁡ S = 1 .
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Sendo W e U sub-espaços do R 4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se 1 ,2 ,1 ,0 ,- 1 ,1 ,0 ,1 ,( 1 ,5 ,2 ,1 ) é um sistema de geradores de W ∩ U ?