Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 10

Determinar a projeção ortogonal do vetor ( 1,1 , 0 , - 1 ) ∈   R 4 sobre o subespaço

W = x , y , z , t ∈   R 4   x - y - z = 0   e   z - 2 t = 0 }

Passo 1

Vamos lá!

Primeira coisa que precisamos notar é que W = 1,0 , 1 , 1 2 , 0 , 1 , - 1 , - 1 2 é uma base que gera W. Show de bola?

Agora usaremos o processo de Gram-Schmidt para achar uma base { w 1 , w 2 } ortogonal de W.

Assim,

w 1 = 1,0 , 1 , 1 2

w 2 = 0,1 , - 1 , - 1 2 - 0,1 , - 1 , - 1 2 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2

w 2 = 0,1 , - 1 , - 1 2 - - 5 4 9 4 1,0 , 1 , 1 2 =   5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9

Então, w 1 , w 2 = 1,0 , 1 , 1 2 , 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 é uma base ortogonal de W.

Passo 2

Agora vamos calcular a projeção ortogonal do vetor ( 1,1 , 0 , - 1 ) ∈   R 4 :

p r o j W = 1,1 , 0 , - 1 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2 + 1,1 , 0 , - 1 , 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 , 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9  

p r o j W = - 1 2 9 4 1,0 , 1 , 1 2 + 16 9 14 9 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 = 26 63 , 8 7 , - 46 63 , - 2 3 63  

Resposta

p r o j W = 26 63 , 8 7 , - 46 63 , - 23 63  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No espaço vetorial V = M N R consideremos o produto interno definido por A , B = t r A B t . Dada uma matriz M ∈ V , seja T M : V → V o operador linear definido por T M X = M X , ∀ X ∈ V . Mostre que
Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Sendo U um subespaço vetorial de V , indiquemos por E : V → U a projeção ortogonal de V sobre U . Provar que E é sobrejetora, isto é, I m E = U .
Determinar uma matriz ortogonal A t = A - 1 cuja primeira linha seja 1 5 , 2 5 .
Seja T um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V . Se T u , u = 0 , para todo u ∈ V , mostrar que T = 0
Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Mostrar que duas quaisquer das propriedades a seguir de um operador A ∈ L V implicam a restante: A é auto-adjunto A é uma isometria A 2 = I