Determinar a projeção ortogonal do vetor ( 1,1 , 0 , - 1 ) ∈   R 4 sobre o subespaço

W = x , y , z , t ∈   R 4   x - y - z = 0   e   z - 2 t = 0 }

Passo 1

Vamos lá!

Primeira coisa que precisamos notar é que W = 1,0 , 1 , 1 2 , 0 , 1 , - 1 , - 1 2 é uma base que gera W. Show de bola?

Agora usaremos o processo de Gram-Schmidt para achar uma base { w 1 , w 2 } ortogonal de W.

Assim,

w 1 = 1,0 , 1 , 1 2

w 2 = 0,1 , - 1 , - 1 2 - 0,1 , - 1 , - 1 2 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2

w 2 = 0,1 , - 1 , - 1 2 - - 5 4 9 4 1,0 , 1 , 1 2 =   5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9

Então, w 1 , w 2 = 1,0 , 1 , 1 2 , 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 é uma base ortogonal de W.

Passo 2

Agora vamos calcular a projeção ortogonal do vetor ( 1,1 , 0 , - 1 ) ∈   R 4 :

p r o j W = 1,1 , 0 , - 1 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2 , 1,0 , 1 , 1 2 1,0 , 1 , 1 2 + 1,1 , 0 , - 1 , 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 , 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9  

p r o j W = - 1 2 9 4 1,0 , 1 , 1 2 + 16 9 14 9 5 9 , 1 , - 4 9 , - 2 9 = 26 63 , 8 7 , - 46 63 , - 2 3 63  

Resposta

p r o j W = 26 63 , 8 7 , - 46 63 , - 23 63  

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