Mostrar, por meio da multiplicação de matrizes, que uma rotação de 30 ° seguida de uma rotação de 60 ° resulta em uma rotação de 90 ° .

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que uma rotação de 30 ° seguida de uma rotação de 60 ° resulta em uma rotação de 90 ° . Para isso, consideremos duas transformações lineares, A e B , aplicadas nessa ordem. Assim,

T = B ∘ A = B ⋅ [ A ]

A representa a rotação de 30 ° , de modo que

A = cos ⁡ 30 ° - s e n   30 ° s e n   30 ° cos ⁡ 30 ° = 1 2 3 - 1 1 3

B representa a rotação de 60 ° :

B = cos ⁡ 6 0 ° - s e n   6 0 ° s e n   6 0 ° cos ⁡ 6 0 ° = 1 2 1 - 3 3 1

Passo 2

Assim, fazendo o produto de matrizes:

T = 1 2 1 - 3 3 1 ⋅ 1 2 3 - 1 1 3 = 1 4 0 - 4 4 0 = 0 - 1 1 0

Mas note que como s e n   90 ° = 1 e cos ⁡ 90 ° = 0 :

T = cos ⁡ 90 ° - s e n   90 ° s e n   90 ° cos ⁡ 90 °

Assim, vemos que a transformação resultante é uma rotação de 90 ° !

Resposta

Demonstração.

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