Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:

1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

Passo 1

A questão pede para dizermos se a matriz é ortogonal ou não. Para que ela seja ortogonal, sua inversa deve ser igual a sua transposta.

Para inverter a matriz, vamos usar o método da matriz expandida:

1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Multiplicando a primeira linha por - 2 e somando com a segunda:

1 3 2 3 2 3 0 - 2 - 1 2 3 1 3 - 2 3 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Fazendo o mesmo mas somando com a terceira linha:

1 3 2 3 2 3 0 - 2 - 1 0 - 1 - 2 1 0 0 - 2 1 0 - 2 0 1 ⇒ 1 2 2 0 - 2 - 1 0 - 1 - 2 3 0 0 - 2 1 0 - 2 0 1

Multiplicando a terceira linha por - 2 e somando com a segunda:

1 2 2 0 - 2 - 1 0 0 3 3 0 0 - 2 1 0 2 1 - 2 ⇒ 1 2 2 0 - 2 - 1 0 0 1 3 0 0 - 2 1 0 2 3 1 3 - 2 3

Somando a primeira linha com a segunda e substituindo na primeira:

1 0 1 0 - 2 - 1 0 0 1 1 1 0 - 2 1 0 2 3 1 3 - 2 3

Somando a segunda com a terceira:

1 0 1 0 - 2 0 0 0 1 1 1 0 - 4 3 4 3 - 2 3 2 3 1 3 - 2 3 ⇒ 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

Por fim, fazendo a primeira linha menos a terceira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

Assim, a inversa é

A - 1 = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

Passo 2

Para obter a transposta, basta trocar linha com coluna:

A t = 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3

Assim, vemos que A t = A - 1 , logo a matriz é ortogonal!

Além disso,

det ⁡ A = 1 3 ⋅ 1 3 - 2 3 - 2 3 + 2 3 ⋅ 2 3 = 1

Como det ⁡ A = 1 , essa matriz representa uma rotação!

Resposta

É ortogonal e representa uma rotação.

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