Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 6

Mostrar que o subconjunto { x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n } de vetores de um espaço vetorial V é L.D se, e somente se, existe um inteiro k ( 1 ≤ k ≤ n ) tal que x k é combinação linear dos demais vetores do conjunto.

Passo 1

Iradoso então pessoal, sabemos que dado o conjunto de vetores V = { v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n } , ele é L.D, se ele não for L.I, ou seja, se é possível uma igualdade do tipo

a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0

Sem que os escalares a i sejam todos iguais a 0 .

Passo 2

Logo, temos o conjunto

{ x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n }

Então

a 1 x 1 + ⋯ + a k - 1 x k - 1 + a k x k + a k + 1 x k + 1 + ⋯ + a n ( x n ) = 0

MAAASS como a gente é malandro, sabemos que x k é combinação linear e logo a k x k também é combinação linear dos outros vetores, então

a k x k = b 1 x 1 + ⋯ + b k - 1 x k - 1 + b k + 1 x k + 1 ⋯ + b n ( x n ) = 0

Substituindo na primeira, obtemos que

a 1 x 1 + b 1 x 1 + ⋯ + a k - 1 x k - 1 + b k - 1 x k - 1 + b k + 1 x k + 1 + a k + 1 x k + 1 + ⋯ + a n x n + b n x n = 0

a 1 + b 1 x 1 + ⋯ + a k - 1 + b k - 1 x k - 1 + a k + 1 + b k + 1 x k + 1 + ⋯ + a n + b n x n = 0

Portanto para qualquer valor em R que a k assumir poderemos ter uma combinação linear que satisfaça a igualdade de 0 , e nosso conjunto então será L.D.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: d )A =- 1
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: A =0 0 1 1
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:b) A =2 2 3
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:c) A =1 1 -
Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1 . Seja X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B . Mostre que se { V 1 , ⋯ ,V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X =