Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 8
Seja um conjunto L.I de vetores de um espaço vetorial . Provar que o conjunto é L.D.
Passo 1
Show de bola galera, sabemos que dado o conjunto de vetores , ele é L.D, se ele não for L.I, ou seja, se é possível uma igualdade do tipo
Sem que os escalares sejam todos iguais a .
Passo 2
O conjunto dado é , então
Mas sabemos que é um conjunto L.I, então a única solução que temos é
Passo 3
E escalonando esse sistema
Logo da segunda linha temos que , e da primeira linha podemos tirar que , portanto nossa solução será , ou seja
Para qualquer em , e para ser L.I a única solução deveria ser a trivial , o que não aconteceu, dessa forma nosso conjunto é L.D.
Resposta
Demonstração.
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Sejam V 1 = ( 4,2 , - 3 ) , V 2 = ( 2,1 , - 2 ) e V 3 = ( - 2 , - 1,0 ) .(c)Qual a dimensão do subespaço gerado por V 1 , V 2 e V 3 , ou seja, do conjunto das combinações lineares de V 1 , V 2 e V 3 .
Mostre que a dimensão do subespaço gerado pelas linhas de uma matriz escalonada reduzida é igual a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas.
Dados V 1 = ( 2,1 , 3 ) e V 2 = ( 2,6 , 4 ) :(a) Os vetores V 1 e V 2 geram o R 3 ? Justifique.(b) Seja V 3 um terceiro vetor do R 3 . Quais as condições sobre V 3 , para que V 1 , V 2 , V 3 seja uma
Mostre que a dimensão do subespaço gerado pelas linhas de uma matriz é igual a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas.
Sejam w um subespaço de R ne{ W 1 , … , W k } uma base de w . Defina a matriz B = W 1 , … , W k t , com W 1 , … , W k escritos como matrizes colunas. Sejam w ⊥ o espaço solução do sistema homogêneo B