Enunciado

Seja { u ,   v ,   w } um conjunto L.I de vetores de um espaço vetorial V . Provar que o conjunto { u + v - 3 w ,   u + 3 v - w ,   v + w ) é L.D.

Passo 1

Show de bola galera, sabemos que dado o conjunto de vetores V = { v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n } , ele é L.D, se ele não for L.I, ou seja, se é possível uma igualdade do tipo

a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0

Sem que os escalares a i sejam todos iguais a 0 .

Passo 2

O conjunto dado é { u + v - 3 w ,   u + 3 v - w ,   v + w ) , então

a 1 u + v - 3 w + a 2 u + 3 v - w + a 3 v + w = 0

a 1 u + a 1 v - 3 a 1 w + a 2 u + 3 a 2 v - a 2 w + a 3 v + a 3 w = 0

a 1 + a 2 u + a 1 + 3 a 2 + a 3 v + - 3 a 1 - a 2 + a 3 w = 0

Mas sabemos que { u ,   v ,   w } é um conjunto L.I, então a única solução que temos é

0 u + 0 v + 0 w = 0

a 1 + a 2 = 0 a 1 + 3 a 2 + a 3 = 0 - 3 a 1 - a 2 + a 3 = 0 = 1 1 0 1 3 1 - 3 - 1 1 0 0 0

Passo 3

E escalonando esse sistema

1 1 0 1 3 1 - 3 - 1 1 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - L 1   L 3 = L 3 + 3 L 1 = 1 1 0 0 2 1 0 2 1 0 0 0 ⇒       L 3 = L 3 - L 2 = 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0

Logo da segunda linha temos que 2 a 2 + a 3 = 0 ⇒ a 3 = - 2 a 2 , e da primeira linha podemos tirar que a 1 + a 2 = 0 ⇒ a 1 = - a 2 , portanto nossa solução será { - a 2 ,   a 2 ,   - 2 a 2 } , ou seja

a 1 u + v - 3 w + a 2 u + 3 v - w + a 3 v + w = 0

- a 2 u + v - 3 w + a 2 u + 3 v - w - 2 a 2 v + w = 0

Para qualquer a 2 em R , e para ser L.I a única solução deveria ser a trivial { 0 ,   0 ,   0 } , o que não aconteceu, dessa forma nosso conjunto { u + v - 3 w ,   u + 3 v - w ,   v + w ) é L.D.

Resposta

Demonstração.

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