Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

d )   A =   - 1 2 2 0 - 1 2 1 0 - 1 0 1 0 2 0 0 1

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = - 1 -   λ 2 2                         0 - 1 2 -   λ 1                         0 - 1 0 1 0 2 -   λ 0 0 1 -   λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ - 1 -   λ 2 2                       0 - 1 2 -   λ 1                       0 - 1 0 1 0 2 -   λ 0 0 1 -   λ

det = λ 4 - 4 λ 3 + 6 λ 2 - 4 λ + 1

Igualando o determinante a zero:

λ 4 - 4 λ 3 + 6 λ 2 - 4 λ + 1 = 0

Reescrevendo:

( λ - 1 ) 4 = 0

λ = 1

Passo 3

Substituindo λ   na matriz A - λ I n :

- 2 2 2   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

- 2 2 2   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0

Escalonando:

- 2 2 2   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 L 1 → - 2 L 1

1 - 1 - 1   0 - 1 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 L 2 → L 2 + L 1

1 - 1 - 1   0 0 0 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 0 L 3 → L 3 + L 1

1 - 1 - 1   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 2 - x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = b + c c b a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

(b+c, c, b, a) = a(0,0,0,1) + b(1,0,1,0) + c(1,1,0,0)

Resposta

λ = 1

V1 = (0,0,0,1)

V2 = (1,0,1,0)

V3 = (1,1,0,0)

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