Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 2a

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

  1. A =   0 0 1 1 0 - 3 0 1 3

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = - λ 0 1 1 - λ - 3 0 1 3 - λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ - λ 0 1 1 - λ - 3 0 1 3 - λ

det = 3 λ 2 - λ 3 + 0 + 1 - 0 - 0 - 3 λ

det = 3 λ 2 - λ 3 - 3 λ + 1

Igualando o determinante a zero:

3 λ 2 - λ 3 - 3 λ + 1 = 0

Reescrevendo:

- ( λ - 1 ) 3 = 0

λ = 1

Passo 3

Substituindo λ   na matriz A - λ I n :

- 1 0 1 1 - 1 - 3 0 1 2

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

- 1 0 1 0 1 - 1 - 3 0 0 1 2 0

Escalonando:

- 1 0 1 0 1 - 1 - 3 0 0 1 2 0 L 1 → - L 1

1 0 - 1 0 1 - 1 - 3 0 0 1 2 0 L 2 → L 2 - L 1

1 0 - 1 0 0 - 1 - 2 0 0 1 2 0 L 2 → - L 2

1 0 - 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 L 3 → L 3 - L 2

1 0 - 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 3 = 0 x 2 + 2 x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a - 2 a a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

(a, -2a, a) = a(1, -2, 1)

Resposta

λ = 1

V = (1, -2, 1)

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que os polinômios 1 , t - 1 , t 2 - 3 t + 1 formam uma base de p 2 . Exprima o polinômio 2 t 2 - 5 t + 6 como combinação linear dos elementos desta base.
Seja w o subespaço de R 3 formado pelos vetores V = ( x , y , z ) tais que x + 2 y + 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1eV 2 pertençam a w .
Suponha que { X 1 , X 2 , … , X n } seja uma base do R n . Mostre que se A e uma matriz nxn não singular, então { A X 1 , A X 2 , … , X n } também é uma base de R n . E se A for singular?
Seja w 1 o subespaço de p 3 que consiste de todos os polinômios p ( t ) tais que p 0 = 0 , e seja w 2 o subespaço de p 3 dos polinômios q ( t ) tais que q 1 = 0 . Encontre bases para,a) w 1 ; b) w 2 ;
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo: a) Das matrizes n × n que tem a primeira linha igual a última linha. b) Das funções que possuem a segunda derivada identicamente nula.