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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 34

Mostre que U ⋅ V × W = V ⋅ W × U = W ⋅ ( U × V ) . (Sugestão: use as propriedades do determinante)

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para começar nós temos que o produto vetorial resulta em um vetor no espaço obtido pelo determinante da seguinte matriz:

V × W = i ^ j ^ k ^ v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = v 2 w 3 - v 3 w 2 i ^ + v 3 w 1 - v 1 w 3 j ^ + v 1 w 2 - v 2 w 1 k ^

E desta forma, temos que:

U ⋅ V × W = u 1 v 2 w 3 - v 3 w 2 + u 2 v 3 w 1 - v 1 w 3 + u 3 v 1 w 2 - v 2 w 1

Vamos analisar o restante deles agora!

Passo 2

De maneira análoga, temos:

W × U = i ^ j ^ k ^ w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 = w 2 u 3 - w 3 u 2 i ^ + w 3 u 1 - w 1 u 3 j ^ + w 1 u 2 - w 2 u 1 k ^

V ⋅ W × U = v 1 w 2 u 3 - w 3 u 2 + v 2 w 3 u 1 - w 1 u 3 + v 3 w 1 u 2 - w 2 u 1

Vamos reorganizar os termos na equação acima, saca só!

Passo 3

Temos que:

V ⋅ W × U = u 1 v 2 w 3 - v 3 w 2 + u 2 v 3 w 1 - v 1 w 3 + u 3 ( v 1 w 2 - v 2 w 1 )

O mesmo pode ser feito para

U × V = i ^ j ^ k ^ u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u 2 v 3 - u 3 v 2 i ^ + u 3 v 1 - u 1 v 3 j ^ + u 1 v 2 - v 2 u 1 k ^

W ⋅ U × V = w 1 u 2 v 3 - u 3 v 2 + w 2 u 3 v 1 - u 1 v 3 + w 3 u 1 v 2 - u 2 v 1

Novamente, se selecionarmos os termos de maneira adequada, temos que:

W ⋅ U × V = u 1 v 2 w 3 - v 3 w 2 + u 2 v 3 w 1 - v 1 w 3 + u 3 ( v 1 w 2 - v 2 w 1 )

Temos aí, os três produtos mistos são equivalentes! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

1. Dados os vetores vec u = (3 , - 1,1) , vec v = (1,2 , 2) e vec w = (2,0 , - 3) , calculara) (vec u , vec v , vec w) b) (vec w , vec u , vec v)
2. Sabendo que (u , v , w) = - 5 , calculara) (w , v , u) b) (v , u , w) c) (w , u , v) d) v * (w xx u)
2. Sabendo que (u , v , w) = - 5 , calculara) (w , v , u) b) (v , u , w) c) (w , u , v) d) v * (w xx u)
4. Sabendo que (u , w , x) = 2 e (v , w , x) = 5 , calculara) (u , x , - w) b) (3 u , 3 w , - 2 x) c) (2 u + 4 v , w , x) d) (5 u - 3 v , 2 w , x)
4. Sabendo que (u , w , x) = 2 e (v , w , x) = 5 , calculara) (u , x , - w) b) (3 u , 3 w , - 2 x) c) (2 u + 4 v , w , x) d) (5 u - 3 v , 2 w , x)