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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 36

Prove a identidade de Lagrange

||V xx W||^2 = ||V||^2 ||W||^2 - (V * W)^2 .

Passo 1

Oiii, tudo certinho? Vamos resolver mais uma questão aqui!

Para essa vamos lembrar da seguinte definição:

||V xx W|| = ||V|| ||W|| sin ( theta )

E também:

V * W = ||V|| ||W|| cos ( theta )

Agora saca só!

Passo 2

Temos que:

||V xx W||^2 = ||V||^2 ||W||^2 sin^2 ( theta )

Se você lembrar que:

sin^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 -> sin^2 (theta) = 1 - cos^2 ( theta )

Vamos utilizar isso e ver o que acontece!

Passo 3

Podemos mostrar que

||V xx W||^2 = ||V||^2 ||W||^2 [1 - cos^2 (theta)] = ||V||^2 ||W||^2 - ||V||^2 ||W||^2 c o s^2 ( theta )

Então temos que:

||V xx W||^2 = ||V||^2 ||W||^2 - (V * W)^2

Como queríamos demonstrar! Essa questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Sejam vec O A = (0,3 , 2) , vec O B = (1,5 , 1) e vec O C = (1,2 , - 1) . (c) Calcule a distância de A à reta O C .
Sejam vec O A = (0,3 , 2) , vec O B = (1,5 , 1) e vec O C = (1,2 , - 1) . (b) Calcule sua área.
Ache um vetor vec x tal que {[[vec x . (2 vec i + 3 vec j) = 6],[vec x ^ ( 2 vec i + 3 vec j ) = 2 vec k]])
São dados: x = 3 , y = 4 , x → ⊥ y → , A B → = 3 x → - 4 y → e A C → = x → + 5 y → . Calcule a área do triângulo A B C e a distância de B à reta A C .
Dados vec a = ( 3 , - 1,2 ) e vec b = (2,3 , 0) , determine um vetor vec v tal que vec v . vec a = - 2 e vec v ^ vec b = ( 3 , - 2 , - 3 )