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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 35b

Mostre que

b) U * [(alpha V_1 + beta V_2) xx W] = alpha U * (V_1 xx W) + beta U * (V_2 xx W) ;

Passo 1

Para esta alternativa ainda vamos usar que:

V xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 w_3 - v_3 w_2) hat i + (v_3 w_1 - v_1 w_3) hat j + (v_1 w_2 - v_2 w_1) hat k

E como temos agora dois vetores V_1 = ( v_11 , v_12 , v_13 ) e V_2 = ( v_21 , v_22 , v_23 ) , temos os seguintes produtos que serão utilizados:

V_1 xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1 1,v_1 2,v_1 3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_1 2 w_3 - v_1 3 w_2) hat i + (v_1 3 w_1 - v_1 1 w_3) hat j + (v_1 1 w_2 - v_1 2 w_1) hat k

E também que

V_2 xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_2 1,v_2 2,v_2 3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 2 w_3 - v_2 3 w_2) hat i + (v_2 3 w_1 - v_2 1 w_3) hat j + (v_2 1 w_2 - v_2 2 w_1) hat k

Vamos utilizar também o vetor U = ( u_1 , u_2 , u_3 ) para expandir os termos em ambos os lados da igualdade! Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é escrever o vetor:

alpha V_1 + beta V_2 = ( alpha v_11 + beta v_21 , alpha v_12 + beta v_22 , alpha v_13 + beta v_23 )

De forma que obtemos o seguinte produto vetorial:

(alpha V_1 + beta V_2) xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[alpha,v_11,+,beta,v_21,alpha,v_12,+,beta,v_22,alpha,v_13,+,beta,v_23],[w_1,w_2,w_3]]] = ->

-> = [(alpha v_12 + beta v_22) w_3 - (alpha v_13 + beta v_23) w_2] hat i + [(alpha v_13 + beta v_23) w_1 - (alpha v_11 + beta v_21) w_3] hat j + ->

-> + [ ( alpha v_11 + beta v_21 ) w_2 - ( alpha v_12 + beta v_22 ) w_1 ] hat k

Realizando o produto interno com U , temos que o lado esquerdo da igualdade toma a forma:

U * [(alpha V_1 + beta V_2) xx W] = ->

u_1 [(alpha v_12 + beta v_22) w_3 - (alpha v_13 + beta v_23) w_2] + u_2 [(alpha v_13 + beta v_23) w_1 - (alpha v_11 + beta v_21) w_3] + ->

-> + u_3 [ ( alpha v_11 + beta v_21 ) w_2 - ( alpha v_12 + beta v_22 ) w_1 ]

Vamos para o lado direito agora!

Passo 3

Temos que:

alpha U * (V_1 xx W) = alpha u_1 (v_12 w_3 - v_13 w_2) + alpha u_2 (v_13 w_1 - v_11 w_3) + alpha u_3 (v_11 w_2 - v_12 w_1)

E também que:

beta U * (V_2 xx W) = beta u_1 (v_22 w_3 - v_23 w_2) + beta u_2 (v_23 w_1 - v_21 w_3) + beta u_3 (v_21 w_2 - v_22 w_1)

Somando ambas as expressões, e evidenciando os componentes de U , e utilizando a propriedade distributiva para as constantes alpha e beta (chuveirinho), e evidenciando os componentes de W . É possível identificar que:

alpha U * (V_1 xx W) + beta U * (V_2 xx W) = ->

-> = u_1 [(alpha v_12 + beta v_22) w_3 - (alpha v_13 + beta v_23) w_2] + u_2 [(alpha v_13 + beta v_23) w_1 - (alpha v_11 + beta v_21) w_3] + ->

-> + u_3 [ ( alpha v_11 + beta v_21 ) w_2 - ( alpha v_12 + beta v_22 ) w_1 ]

Essa alternativa foi! Uff... bora para a próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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