Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 17b

Sejam e dois subespaços.

b) Mostre que é um subespaço se, e somente se, ou .

Passo 1

A ideia aqui é basicamente a mesma do que na alternativa anterior, no entanto, tenho um ponto que devo levantar aqui. A definição de subespaço na verdade permite que , não somente . Portanto, em geral, não podemos garantir que a união de e esteja contida em . Saca só os seguintes diagramas de Venn!

Passo 2

Primeiro, uma situação comportada:

Agora, uma situação problemática:

No segundo caso, temos que deixa de ser subespaço. Portanto a união não é subespaço. Agora considere o caso em que é é igual ao , se ainda é subespaço de , ele necessariamente deve estar contido em , da seguinte maneira:

Como esta é uma possibilidade válida, então apenas podemos garantir que se ou . Vamos para a próxima alternativa!

Resposta

Demonstrado pelo diagrama de Venn

Exercícios de Livros Relacionados

Usando a terminologia do páragrafo anterior, verifique se é correto dizer que: “ V 3 está enfeitado com uma base verde”.

Verifique se as bases E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 e F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 são concordantes ou discordantes nos casos (a) e (b) da Figura 10-4.

As bases E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 , F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 , G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 e H = h → 1 ,h → 2 ,h → 3 estão representados na Figura 10-3. Quais delas são dextras e quais são sinistras?

Os vetores não-nulos r → e w → são paralelos. Considere as bases E = u → ,v → ,w → e F = u → ,v → ,r → . Mostre que E e F são concordantes se, e somente se, r → e w → são de mesmo sentido.

Verifique se as bases E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) e F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 são concordantes ou discordantes.a) f → 1 = 2 e → 1 - e → 2 - e → 3 f → 2 = e → 1 - e → 3 f → 3 = e → 2 b) f → 1 = e → 1 + e