Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.

b) Mostre que W 1 ∪ W 2 é um subespaço se, e somente se, W 1 ⊂ W 2 ou W 2 ⊂ W 1 .

Passo 1

A ideia aqui é basicamente a mesma do que na alternativa anterior, no entanto, tenho um ponto que devo levantar aqui. A definição de subespaço na verdade permite que W = R m , não somente W ⊂ R m . Portanto, em geral, não podemos garantir que a união de W 1 e W 2 esteja contida em R m . Saca só os seguintes diagramas de Venn!

Passo 2

Primeiro, uma situação comportada:

Agora, uma situação problemática:

No segundo caso, temos que W 1 deixa de ser subespaço. Portanto a união não é subespaço. Agora considere o caso em que W 1 é é igual ao R m , se W 2 ainda é subespaço de R m , ele necessariamente deve estar contido em W 1 , da seguinte maneira:

Como esta é uma possibilidade válida, então apenas podemos garantir que W 1 ∪ W 2 se W 1 ⊂ W 2 ou W 1 = W 2 . Vamos para a próxima alternativa!

Resposta

Demonstrado pelo diagrama de Venn

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