Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 14

Mostre que é uma base de e expresse como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 1

Desejamos mostrar que o conjunto é uma base para o espaço dos polinômios de até grau dois, para isso devemos lembrar quais as condições que devem ser satisfeitas para um determinado conjunto ser base e elas são

O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.

O conjunto deve gerar todo o meu espaço.

OK, muito bonita toda essa teoria mas e na prática como fazemos? Pois bem, na prática são apenas duas continhas que devemos fazer, a primeira para mostrar que são independentes linearmente

Onde são constantes, essa equação só pode admitir solução que trivial. Agora, para provar que esse conjunto gera nosso espaço vamos pegar o polinômio do segundo grau mais geral possível e mostrar que conseguimos escrevê-lo com a base que temos.

Passo 2

Agora, vamos mostrar que nossa base gera esse espaço tomando um polinômio genérico que será

Assim, teremos

Então, vamos ter o seguinte sistema

Como conseguimos escrever o polinômio como combinação linear da nossa base, então, nossa base gera o espaço indicado.

Passo 3

Basta observamos índice a índice de cada parcela do polinômio com a base que temos e o polinômio ao qual desejamos chegar e vamos verificar tal igualdade exposta acima. Ainda, podemos utilizar o sistema linear acima onde .