Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 14
Mostre que é uma base de e expresse como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 1
Desejamos mostrar que o conjunto é uma base para o espaço dos polinômios de até grau dois, para isso devemos lembrar quais as condições que devem ser satisfeitas para um determinado conjunto ser base e elas são
O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.
O conjunto deve gerar todo o meu espaço.
OK, muito bonita toda essa teoria mas e na prática como fazemos? Pois bem, na prática são apenas duas continhas que devemos fazer, a primeira para mostrar que são independentes linearmente
Onde são constantes, essa equação só pode admitir solução que trivial. Agora, para provar que esse conjunto gera nosso espaço vamos pegar o polinômio do segundo grau mais geral possível e mostrar que conseguimos escrevê-lo com a base que temos.
Passo 2
Agora, vamos mostrar que nossa base gera esse espaço tomando um polinômio genérico que será
Assim, teremos
Então, vamos ter o seguinte sistema
Como conseguimos escrever o polinômio como combinação linear da nossa base, então, nossa base gera o espaço indicado.
Passo 3
Basta observamos índice a índice de cada parcela do polinômio com a base que temos e o polinômio ao qual desejamos chegar e vamos verificar tal igualdade exposta acima. Ainda, podemos utilizar o sistema linear acima onde .
Portanto, conseguimos encontrar os valores de , e :
Resolvendo o sistema linear, temos que
Assim, vamos escrever o polinômio como combinação linear da nossa base. Então
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)