Enunciado

Verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

(a) u = 4 ,   1 ,   1 ,   v = ( 1 ,   2 ,   3 )

(b) u = 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   3 ,   v = ( 0 ,   1 ,   1 ,   5 , - 2 )

(c) u = 1 ,   3 ,   5 ,   2 ,   0 ,   1 ,   v = ( 0 ,   2 ,   4 ,   1 ,   3 ,   5 )

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos resolver esse problema?

Temos que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é

‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | |

Então temos:

(a)

u ⋅ v = 4 1 + 1 2 + ( 1 ) ( 3 ) = 9

u   v = 4 2 + 1 2 + 1 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = 18 14 = 1 5 , 8 7

Logo, ‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | | é válido.

Passo 2

(b)

u ⋅ v = 1 0 + 2 1 + ( 1 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 5 ) + ( 3 ) ( - 2 ) = 7

u   v = ( 1 2 + 2 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 0 2 + 1 2 + 1 2 + 5 2 + ( - 2 ) 2 = 19 31 = 24,26

Logo, ‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | | é válido.

Passo 3

(c)

u ⋅ v = 1 0 + 3 2 + 5 4 + ( 2 ) ( 1 ) + ( 0 ) ( 3 ) + ( 1 ) ( 5 ) = 33

u   v = 1 2 + 3 2 + 5 2 + 2 2 + 0 2 + 1 2 0 2 + 2 2 + 4 2 + 1 2 + 3 2 + 5 2 = 40 55 = 4 6 , 9

Logo, ‖ u ⋅ v ‖ ≤ ‖ u ‖ | | v | | é válido.

Resposta

(a) 9 ≤ 15,87

(b) 7 ≤ 24,26

(c) 33 ≤ 46,9

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