Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 6
Mostre que as colunas da matriz de tamanho na Equação são linearmente independentes se e pelo menos dos números são distintos. [Sugestão: um polinômio não nulo de grau tem, no máximo, raízes distintas.]
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Vamos considerar a seguinte matriz:
Considere que os vetores das colunas de sejam:
Com .
Vamos considerar que estes vetores também sejam linearmente independentes. Portanto, vamos assumir que:
Considerando que o número de equações seja menor que o número de incógnitas:
Teremos algo diferente de zero em no espaço da solução.
Portanto, não pode ser linearmente independente.
Passo 2
Agora vamos considerar que:
Portanto, o sistema possuirá soluções triviais.
Fazendo com que os vetores da coluna sejam linearmente independentes.
Se dois vetores são iguais, então as duas linhas da matriz devem ser idênticas, ou seja, a matriz deve ter uma linha zero e, portanto, a classificação da matriz será .
Portanto, se o número de for o mesmo, a classificação da matriz será .
Como o sistema de equação pode ter soluções triviais, devemos ter o número zero .
Que nos diz que a matriz pode ter zero linhas.
Portanto,
Que nos diz que a matriz deve ter pelo menos , distintos.
A nossa conclusão final é de que todas as colunas da matriz são linearmente independentes apenas quando se tem pelo menos , distintos com .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)