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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 5

Mostre que a matriz M na Equação 2 tem colunas linearmente independentes se, e só se, pleo menos dois dos números x 1 , x 2 ⋯ x n são distindos.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar a seguinte matriz:

M = 1 1 ⋮ 1       x 1 x 2 ⋮ x n

É necessário provar que as colunas de M são L I se e somente se pelo menos dois dos números x 1 , x 2 , ⋯ ,   x n forem distintos.

Podemos provar isso por declarações contrapositivas. Ou seja, vamos supor que os números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n sejam iguais. Teremos então:

M = 1 1 ⋮ 1       x 1 x 1 ⋮ x 1

As colunas são linearmente dependentes quando os números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são iguais, portanto, quando pelo menos dois forem diferentes, podemos concluir que as colunas de M serão linearmente independentes.

Passo 2

Agora vamos partir do pressuposto que as colunas de M sejam linearmente independentes.

Temos que provar que pelo menos dois dos números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são distintos.

Novamente vamos usar declarações contrapositivas. Vamos considerar as colunas L D . Podemos então escrever:

C 1 = k C 2

Onde C 1 é a primeira coluna, C 2 a segunda e k é um escalar qualquer. Temos então que:

1 - k x 1 = 0

1 - k x 2 = 0

⋮

1 - k x n = 0

O que nos diz que:

x 1 = x 2 = x n = 1 k

Comprovando que se as colunas forem linearmente dependentes, os números serão iguais.

Portanto, podemos concluir que se as colunas de M forem linearmente independentes, pelo menos dois números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n serão diferentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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