Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 5
Mostre que a matriz na Equação tem colunas linearmente independentes se, e só se, pleo menos dois dos números , são distindos.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Vamos considerar a seguinte matriz:
É necessário provar que as colunas de são se e somente se pelo menos dois dos números , forem distintos.
Podemos provar isso por declarações contrapositivas. Ou seja, vamos supor que os números sejam iguais. Teremos então:
As colunas são linearmente dependentes quando os números são iguais, portanto, quando pelo menos dois forem diferentes, podemos concluir que as colunas de serão linearmente independentes.
Passo 2
Agora vamos partir do pressuposto que as colunas de sejam linearmente independentes.
Temos que provar que pelo menos dois dos números são distintos.
Novamente vamos usar declarações contrapositivas. Vamos considerar as colunas . Podemos então escrever:
Onde é a primeira coluna, a segunda e é um escalar qualquer. Temos então que:
O que nos diz que:
Comprovando que se as colunas forem linearmente dependentes, os números serão iguais.
Portanto, podemos concluir que se as colunas de forem linearmente independentes, pelo menos dois números serão diferentes.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)