Prove: se A tem vetores coluna linearmente independentes e se A x = b é consistente, então a solução de mínimos quadrados de A x = b e a solução exata de A x = b coincidem.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que A x - b pode ser visto como uma medida de erro resultante por considerar x como uma solução aproximada do sistema linear A x = b .

Como o sistema é consistente, a solução é exata, portanto, o erro é zero, logo:

A x - b = 0

A x = b

Inversamente, temos que:

A T A x = A T b é o sistema normal associado e todas as soluções deste sistema são a solução dos mínimos quadrados, portanto:

A T A x = A T b

A T A x - A T b = 0

A T A x - b = 0

Como A tem espaço de coluna linearmente independente, temos que:

A T = 0

Consequentemente, temos que:

A x - b = 0

A x = b

Ficando assim provado que a solução de mínimos quadrados de A x = b e a solução exata de A x = b é a mesma.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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