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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 9

Mostre que

{[[[1,0],[0,0]]] , [[[0,1],[0,0]]] , [[[0,0],[1,0]]] , [[[0,0],[0,1]]]}

E base de M ( 2,2 ) .

Passo 1

O espaço das matrizes 2 xx 2 é representado de maneira mais geral por:

[[[a,b],[c,d]]]

Para encontrarmos uma base para essas matrizes, procedemos da seguinte maneira:

[[[a,b],[c,d]]] = a [[[1,0],[0,0]]] + b [[[0,1],[0,0]]] + c [[[0,0],[1,0]]] + d [[[0,0],[0,1]]]

Passo 2

Observe que o conjunto gerador é o mesmo fornecido no enunciado. Veja que ele é realmente uma base, pois ele é LI:

a [[[1,0],[0,0]]] + b [[[0,1],[0,0]]] + c [[[0,0],[1,0]]] + d [[[0,0],[0,1]]] = [[[a,b],[c,d]]] = [[[0,0],[0,0]]] => a = b = c = d = 0

Resposta

Demonstração.

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais:e) { ( x , y , z ) ∈ I R 3 / z = 0 }
Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x + 2 y - 2 z - t = 0 2 x + 4 y + z + t = 0 x + 2 y + 3 z + 2 t = 0
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais de M(2,2):b) a b c d ; b = a + c
Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x + y - 2 z + t = 0 2 x + 2 y - 4 z + 2 t = 0
Seja o subespaço S de M(2,2) S = a b c d ; c = a + bed = a Qual a dimensão de S?O conjunto 1 - 1 0 1 ,2 1 3 4 É uma base de S? Justificar.