Mostre que

{[[[1,0],[0,0]]] , [[[0,1],[0,0]]] , [[[0,0],[1,0]]] , [[[0,0],[0,1]]]}

E base de M ( 2,2 ) .

Passo 1

O espaço das matrizes 2 xx 2 é representado de maneira mais geral por:

[[[a,b],[c,d]]]

Para encontrarmos uma base para essas matrizes, procedemos da seguinte maneira:

[[[a,b],[c,d]]] = a [[[1,0],[0,0]]] + b [[[0,1],[0,0]]] + c [[[0,0],[1,0]]] + d [[[0,0],[0,1]]]

Passo 2

Observe que o conjunto gerador é o mesmo fornecido no enunciado. Veja que ele é realmente uma base, pois ele é LI:

a [[[1,0],[0,0]]] + b [[[0,1],[0,0]]] + c [[[0,0],[1,0]]] + d [[[0,0],[0,1]]] = [[[a,b],[c,d]]] = [[[0,0],[0,0]]] => a = b = c = d = 0

Resposta

Demonstração.

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