Mostre que uma elipse fica determinada pelo seu retângulo fundamental, mas não por sua coroa fundamental. Em outras palavras: cada retângulo é retângulo fundamental de uma só elipse, mas várias elipses podem ter a mesma coroa circular como coroa fundamental.

Vejamos a seguinte equação:

Ela é a equação reduzida de uma elipse centrada na origem.

Fica o questionamento: qual o maior denominador? Será ou ? A resposta desta pergunta nos dirá se a elipse tem focos no eixo ou .

Entretanto, independentemente desta resposta, uma coisa temos certeza: o nosso retângulo fundamental! Ele sempre será o conjunto de pontos tais que e . Pode-se perceber a unicidade deste retângulo.

E em relação a coroa fundamental? Se assumirmos que , então, será o conjunto de pontos tais que .

E se for o inverso, isto é, ? Então, teremos a coroa .

Vocês percebem que nós só fizemos trocar a ordem dos termos? Pode acontecer de nós simplesmente invertermos os valores dos denominadores. Por exemplo, vejam essas duas elipses:

A primeira tem focos do eixo e coroa fundamental . Já a segunda tem foco em e coroa fundamental . Ambas são elipses distintas, mas com mesma coroa fundamental.

Portando, assim verificamos que o retângulo fundamental é único, enquanto a coroa fundamental pode ser partilhada por mais de uma elipse!