As elipses E e E ' , de parâmetros geométricos a , b , c e a ' , b ' , c ' , têm centro O e focos em um dos eixos coordenados. Sendo a ' = k a e b ' = k b , prove que c ' = k c e que P = x , y pertence a E se, e somente se, P ' = k x , k y pertence a E ' .

Passo 1

Precisamos começar escrevendo as equações das duas elipses. Primeiro, para E , temos:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Já para E ' , temos:

x 2 k 2 a 2 + y 2 k 2 b 2 = 1

Para que o ponto P ' ∈ E ' , significa que este ponto satisfaz a equação da elipse. Portanto,

k x 2 k 2 a 2 + k y 2 k 2 b 2 = 1

k 2 x 2 k 2 a 2 + k 2 y 2 k 2 b 2 = 1

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E o que a relação acima significa? Ela é a mesma obtida ao substituir as coordenadas do ponto P na equação da elipse E .

Então, acabamos de provar a relação pedida na questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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