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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 10

Mostre que a equação em coordenadas polares de uma elipse com um dos focos no polo, que tem eixo maior igual à 2 a e excentricidade e é

r = a 1 - e 2 1 - e cos ⁡ θ

Passo 1

Fala aeee galerinha, tudo certo?

Nesse exercício queremos determinar a equação de uma elipse em coordenadas polares tal que um de seus focos está no polo e seu eixo maior mede 2 a e sua excentricidade é e ( 0 < e < 1 ).

Passo 2

Agora, vamos relembrar que para escrever uma equação polar de uma cônica que não a circunferência é dada por

1     r = e p 1 - e cos ⁡ θ

Veja que pela equação ( 1 ) obtemos a seguinte expressão e p = r - r e cos ⁡ θ e então, r = e p + r cos ⁡ θ .

Passando para coordenadas cartesianas obtemos:

x 2 + y 2 = e 2 p + x 2

x 2 + y 2 = e 2 p 2 + 2 p x + x 2

x 2 - e 2 x 2 - 2 e 2 p x + y 2 = e 2 p 2

1 - e 2 x 2 - 2 e 2 p x + y 2 = e 2 p 2

Agora, dividindo por ( 1 - e 2 ) (pois a curva não é uma parábola) e completando quadrado temos:

x - p e 2 1 - e 2 2 - e 4 p 2 1 - e 2 2 + y 2 1 - e 2 = e 2 p 2 1 - e 2

Denote x 0 = p e 2 1 - e 2 , assim,

x - x 0 2 + y 2 1 - e 2 =   e 2 p 2 1 - e 2 +   e 4 p 2 1 - e 2 2

Ou ainda,

x - x 0 2 + y 2 1 - e 2 =   e 2 p 2 ( 1 - e 2 ) ²

A qual escrevendo em sua forma padrão, x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 , com a = e p 1 - e 2 .

Passo 3

Substituindo e p = a 1 - e 2 em ( 1 ) , concluímos que

r = a 1 - e 2 1 - e cos ⁡ θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se a cônica de equação r = d e 1 - e c o s θ representa uma parábola, determine as coordenadas polares do seu vértice e a equação em coordenadas polares da reta diretriz.
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