Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 20
a. Mostre que se , então se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se for uma matriz ?
Passo 1
Fala galerinha, tudo bem?
Veja que esse exercício é dividido em dois momentos, inicialmente com sendo uma matriz e depois, sendo uma matriz .
Temos que o exercício é um se, e somente se, ou seja, temos que provar a “ida” e a “volta”.
Bora lá então...
Provando a “ida”.
Suponha que e , ou seja, , em outras palavras isso ocorre quando uma linha é múltiplo de outra, ou seja, possui um fator de proporcionalidade ().
Acabou?
Não!!!
Passo 2
Vamos mostrar que a “volta” também é verdade.
Suponha que a segunda linha seja múltipla da primeira linha, ou seja, , desse modo, .
Passo 3
Mas, agora, o que acontece se é uma matriz ?
Para nos ajudar iremos usar as seguintes propriedades:
Propriedade 1: Se uma matriz tem uma linha ou coluna nula, então .
Propriedade 2: Se é uma matriz que resulta a partir de adicionando-se à linha de um múltiplo não nulo de outra linha , então .
Considere
Suponha que a linha de é proporcional a linha , ou seja, , . Podemos adicionar à linha de o múltiplo da linha , obtendo uma matriz . Dessa forma, a linha de será nula e, pela propriedade 1, nesse caso, .
Mas, como a matriz foi obtida da matriz apenas adicionando-se à linha de um múltiplo da linha , pela propriedade 2, temos que .
Resposta
Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 2, seção 2, exercício 20
Enunciado
b. Mostre que se uma linha de uma matriz é tal que , para escalares e , então .
Passo 1
Considere a matriz tal que a linha de seja escrita como , e .
Galerinha, perceba que a linha da matriz está sendo escrita como a soma de um fator proporcionalidade da linha com um fator proporcionalidade da linha , ou seja, a linha é escrita como combinação linear de outras duas linhas.
Passo 2
Agora, se adicionarmos à linha de a soma dos fatores proporcionais de e das linhas e respectivamente, então obtemos a matriz .
Note que a linha de será nula e, pela propriedade 1, obtemos que .
Como a matriz foi obtida da matriz apenas adicionando-se à linha de a soma do fator proporcionalidade da linha e o fator proporcionalidade da linha , obtemos que,
Resposta
Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 2, seção 2, exercício 20
Enunciado
c. Mostre que se uma linha de uma matriz é tal que , para escalares, então .
Passo 1
Considere a matriz tal que a linha de seja escrita como, .
Galerinha, perceba que a linha da matriz está sendo escrita como a soma dos fatores proporcionalidades das linhas.
Passo 2
Podemos adicionar à linha de a soma dos fatores proporcionais de das linhas , com , desse modo, obtemos a matriz .
Observe que a linha de será nula e, pela propriedade 1, obtemos que .
Como a matriz foi obtida da matriz apenas adicionando-se à linha de a soma dos fatores proporcionalidades das linhas,com , obtemos que,
Espero ter ajudado!! 😉
Bons estudos.