Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 22

Sejam A ,   B e D matrizes p × p ,   p × ( n - p ) e n - p × ( n - p ) respectivamente.

Mostre que det ⁡ A B 0 - D = det ⁡ A det ⁡ D .

Sugestão: o resultado é claramente verdadeiro para n = 2 . Suponha que o resultado seja verdadeiro para matrizes de ordem n - 1 . Desenvolva o determinante da matriz em termos da 1ª coluna, escreva o resultado em termos de determinantes de ordem n - 1 e mostre que p resultado é verdadeiro para matrizes de ordem n .

Passo 1

Fala galera, blz?

Para mostrar que det ⁡ A B 0 - D = det ⁡ A det ⁡ D , iremos usar o principio de indução matemática. Para isso, fixe p = 1 .

Passo base: Para n = 2 , temos que as matrizes A ,   B e D possuem a mesma ordem ( 1 × 1 ), ou seja, cada matriz é unitária (possui apenas um único elemento).

Desse modo,

det ⁡ A B 0 - D = det ⁡ a b 0 d = a d - b 0 = a d = det ⁡ A det ⁡ D , pois det ⁡ A = a e det ⁡ ( D ) = d . O passo base é verdadeiro! 😊

Passo 2

Agora, vamos para o passo indutivo:

Fixe p = 1 e suponha que n = k - 1 ,   k ≥ 2 então deve ser verdade para n = k - 1 + 1 = k Temos que nossa hipótese indutiva é

det ⁡ A 1 × 1 B 1 × k - 1 0 - D k - 1 × k - 1 = det ⁡ A 1 × 1 det ⁡ D k - 1 × k - 1 ,   k ≥ 2 .

Queremos mostra que:

det ⁡ A 1 × 1 B 1 × k 0 - D k × k = det ⁡ A 1 × 1 det ⁡ D k × k ,   k ≥ 2 .

Passo 3

Veja que

det ⁡ A 1 × 1 B 1 × k 0 - D k × k = det ⁡ a B 1 × k 0 - D k × k = det ⁡ a D k × k - det ⁡ 0 - B 1 × k = a det ⁡ ( D k × k ) =   det ⁡ A 1 × 1 det ⁡ D k × k ,   k ≥ 2 .

Dessa forma, mostramos que o resultado é válido para matrizes de ordem n.

Resposta

det ⁡ A B 0 - D = det ⁡ A det ⁡ D

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Qual método envolve menos contas?
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 4 × 4 com det ⁡ A = - 2 c )det ⁡ 2 A T
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 4 × 4 com det ⁡ A = - 2 det ⁡ - A
Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Resolva o sistema pela regra de Cramer
Seja A = a b c d e f g h i supondeo que det ⁡ A = - 7 , obtenha det ⁡ 2 A - 1