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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 9

Sejam X = [ x 1 ,   . . .   ,   x m ] t e Y = [ y 1 ,   . . .   ,   y n ] t matrizes m × 1 e n × 1 , respectivamente. Seja A = X Y t . Mostre que se X ≠ 0 ̄ , então { X } é uma base para o espaço coluna de A . Qual o posto de A ?

Passo 1

Fala, galerinha!

Vamos começar calculando A = X Y t :

A = [ x 1 ,   . . .   ,   x m ] t [ y 1 ,   . . .   ,   y n ]

⎜   x 1 y 1                 x 1 y 2           ⋯               x 1 y n ⎜

⎜ x 2 y 1                 x 2 y 2             ⋯               x 2 y n ⎜

⎜ ⋯                     ⋯             ⋯               ⋯       ⎜

⎜ x m y 1                 x m y 2         ⋯           x m y n   ⎜

Passo 2

O espaço coluna de A é formado pelos vetores coluna

[   x 1 y 1 , x 2 y 1 , ⋯ ,   x m y 1 ] t , ⋯ , [   x 1 y n   ,   x 2 y n , ⋯ ,   x m y n ] t  

Então, podemos ver que cada um desses vetores é dado por uma combinação linear de [ x 1 ,   . . .   ,   x m ] t . Por exemplo, o primeiro vetor pode ser escrito como

[   x 1 y 1 , x 2 y 1 , ⋯ ,   x m y 1 ] t = y 1 [   x 1 , x 2 , ⋯ ,   x m ] t

e podemos fazer isso com os demais vetores. Assim, se X ≠ 0 ̄ , então { X } é uma base para o espaço coluna de A

Passo 3

Como todos os vetores de A são múltiplos de [   x 1 , x 2 , ⋯ ,   x m ] t , então temos apenas um vetor independente. Nesse caso, o posto de A é igual a 1 .

Resposta

Veja a resolução acima.

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