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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 33

33. (Requer Cálculo) Suponha que P 2 tenha o produto interno

p , q = ∫ 0 1 p x q x d x

Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base canônica S = { 1 , x , x 2 } numa base ortonormal.

Passo 1

Sendo :

u 1 = 1

u 2 = x

u 3 = x 2

Usando o processo de Grand-schmidt:

Para achar v 1 :

v 1 = u 1

v 1 = 1

Passo 2

Para achar v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Calculando o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = ∫ 0 1 x 1 d x

u 2 ⋅ v 1 = x 2 2 0 1

u 2 ⋅ v 1 = 1 2

Calculando a norma (ao quadrado):

v 1 = ∫ 0 1 1 1 d x

v 1 = x 0 1

v 1 = 1

v 1 = 1

Então:

v 2 = x - 1 2 1 1

v 2 = x - 1 2

Passo 3

Para achar v 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Calculando os produtos internos:

u 3 ⋅ v 1 = ∫ 0 1 x 2 1 d x

u 3 ⋅ v 1 = x 3 3 0 1

u 3 ⋅ v 1 = 1 3

u 3 ⋅ v 2 = ∫ 0 1 x 2 x - 1 2 d x

u 3 ⋅ v 2 = ∫ 0 1 x 3 - x 2 2 d x

u 3 ⋅ v 2 = x 4 4 - x 3 6 0 1

u 3 ⋅ v 2 = 1 4 - 1 6

u 3 ⋅ v 2 = 1 12

Calculando a norma de v 2 (ao quadrado):

v 2 = ∫ 0 1 x - 1 2 x - 1 2 d x

v 2 = ∫ 0 1 x 2 - x + 1 4 d x

v 2 = x 3 3 - x 2 2 + x 4 0 1

v 2 = 1 3 - 1 2 + 1 4

v 2 = 1 12

Então:

v 3 = x 2 - 1 3 1 1 - 1 12 1 12 x - 1 2

v 3 = x 2 - 1 3 - x + 1 2

v 3 = x 2 - x + 1 6

Passo 4

Como é pedido uma base ortonormal, então só falta dividir cada polinômio pela sua norma.

Calculando a norma de v 3 :

v 3 = ∫ 0 1 x 2 - x + 1 6 x 2 - x + 1 6 d x

v 3 = ∫ 0 1 x 4 - x 3 + x 2 6 - x 3 + x 2 - x 6 + x 2 6 - x 6 + 1 36 d x

v 3 = ∫ 0 1 x 4 - 2 x 3 + 4 x 2 3 - x 3 + 1 36 d x

v 3 = x 5 5 - x 4 2 + 4 x 3 9 - x 2 6 + x 36 0 1

v 3 = 1 180

A base ortonormal, então:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1

q 2 = v 2 v 2

q 2 = x - 1 2 1 12

q 3 = x 2 - x + 1 6 1 180

Resposta

q 1 = 1

q 2 = x - 1 2 1 12

q 3 = x 2 - x + 1 6 1 180

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