1. Mostre que se A , B e A + B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então
  2. A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 = I

  3. O que o resultado da parte (a) nos diz sobre a matriz A - 1 + B - 1 ?

Passo 1

Na letra (a), temos que que mostrar que A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 = I , vamos dar uma arrumadinha nela

A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 = I ⇒ A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 A + B ⏝ I = I × A + B ⇒

⇒ A A - 1 + B - 1 B = A + B ⇒ A A - 1 ⏝ I + A B - 1 B = A + B ⇒

⇒ I + A B - 1 B = A + B ⇒ I × B + A B - 1 B ⏝ I = A + B ⇒

⇒ B + A = A + B

Logo nossa proposição é verdadeira.

Passo 2

Como A - 1 tem o mesmo tamanho que A e B - 1 o mesmo tamanho de B , e como nossa soma A - 1 + B - 1 está definida, podemos garantir que ( A - 1 + B - 1 ) terá o mesmo tamanho de A ,   B   e   A + B .

Resposta

  1. Demonstração
  2. ( A - 1 + B - 1 ) tem mesmo tamanho de A ,   B   e   A + B .
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