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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 53

  1. Mostre que se A , B e A + B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então

    2. A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 = I

  2. O que o resultado da parte (a) nos diz sobre a matriz A - 1 + B - 1 ?

Passo 1

Na letra (a), temos que que mostrar que A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 = I , vamos dar uma arrumadinha nela

A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 = I ⇒ A A - 1 + B - 1 B A + B - 1 A + B ⏝ I = I × A + B ⇒

⇒ A A - 1 + B - 1 B = A + B ⇒ A A - 1 ⏝ I + A B - 1 B = A + B ⇒

⇒ I + A B - 1 B = A + B ⇒ I × B + A B - 1 B ⏝ I = A + B ⇒

⇒ B + A = A + B

Logo nossa proposição é verdadeira.

Passo 2

Como A - 1 tem o mesmo tamanho que A e B - 1 o mesmo tamanho de B , e como nossa soma A - 1 + B - 1 está definida, podemos garantir que ( A - 1 + B - 1 ) terá o mesmo tamanho de A ,   B   e   A + B .

Resposta

  1. Demonstração
  2. ( A - 1 + B - 1 ) tem mesmo tamanho de A ,   B   e   A + B .
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Seja A uma matriz 3 x 3. Suponha que X =1 - 2 3 é a solução do sistema homogêneo AX = 0̅ ̅. A matriz A é singular ou não? Justifique.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes.
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes: 1 2 3 1 1 2 0 1 1