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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 11

Dado v → 1 = ( 1 , - 2 ,   1 ) , determinar vetores v → 2 e v → 3 de modo que os três sejam mutuamente ortogonais.

Passo 1

Vamos traduzir o nosso enunciado e ver o que devemos fazer para matarmos essa questão?

Primeiro, o que são vetores ortogonais?

Direto ao ponto: quando realizados o produto escalar entre dois vetores e ele dá 0, dizemos que esses vetores são ortogonais! Logo, se nós conhecemos v 1 , podemos determinar v 2 através do produto escalar entre eles que tem que dar ZERO! Ou seja, v → 1 . v → 2 = 0 .

Notem, que temos INFINITAS soluções, afinal existem uma infinidade de vetores v → 2 para o qual v → 1 . v → 2 = 0 , então vamos achar só uma delas, beleza?

Mas no nosso problema ainda temos v 3 , e agora? Calma... podemos encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a outros dois, através do produto vetorial entre eles. Ou seja, se nós sabemos quem é v → 1 e v → 2 que são necessariamente ortogonais, v → 3 poderá ser obtido através do produto vetorial entre eles. Ou seja, v → 3 = v → 1 × v → 2 .

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Dado v → 1 = ( 1 , - 2 ,   1 ) , vamos considerar v → 2 = ( a ,   b ,   c ) . Assim, para que eles sejam ortogonais, v → 1 . v → 2 = 0 , como já vimos no passo 1:

v → 1 . v → 2 = 0

1 , - 2 ,   1 . a ,   b ,   c = 0

a - 2 b + c = 0

Como temos INFINITAS soluções, vamos atribuir valores aleatórios para a   e b e então encontrar quem é c .

Considerando a = 3 e b = 2 , temos:

3 - 2 2 + c = 0

3 - 4 + c = 0

c = 1

Assim, um vetor possível é v → 2 = ( 3 ,   2 ,   1 ) .

Agora, podemos encontrar o vetor v → 3 através do produto vetorial entre os vetores v → 1 e v → 2 , certo?

Passo 3

Calculando o produto vetorial, temos:

v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 - 2 1 3 2 1 = ( - 2 i → + 3 j → + 2 k → ) - ( 2 i → + j - 6 k → ) = ( - 4 i → + 2 j → + 8 k → )

Assim, v → 1 × v → 2 = v → 3 = ( - 4 ,   2 ,   8 ) .

Portanto, uma das infinitas soluções possíveis é v → 1 = 1 , - 2 ,   1 ,   v → 2 = ( 3 ,   2 ,   1 ) e v → 3 = - 4 ,   2 ,   8 😉.

Resposta

Uma das infinitas soluções possíveis: v → 1 = 1 , - 2 ,   1 ,   v → 2 = ( 3 ,   2 ,   1 ) e v → 3 = - 4 ,   2 ,   8 .

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Sabemos que u → = a → + b → , v → = a → - b → , a → = 2 , b → = 3 , o ângulo entre a → e b → mede 60 ° , a → = O A → e b → = O B → . Que relação existe entre u → ^ v → e a área do triângulo O A B ? De
Sendo u → = ( 1 , - 2,4 ) e v → = ( 6,1 , - 1 ) , determine x → = ( a , b , c ) tal que x → seja ortogonal ao vetor ( - 1,2 , 1 ) e obedeça à equação u → ^ x → = v → .
Sejam u → , v →ew → três vetores tais que u → . v → = v → . w → = u → . w → = 0 , u → = 2 , v → = 2ew → = 2 . Dados a → = 2 u → + v → - w → e b → = u → - v → , calcule a → , b → , a → . b →ea → ^ b →
Temos a → = 2 , b → = 1ea → ^ b → = c → . Os vetores a → e b → são, respectivamente, paralelos aos vetores i → e j → e têm os mesmos sentidos que esses. Calcule a área do triângulo A B C , sendo A B →
Use o produto vetorial para obter as coordenadas do pé da perpendicular baixada do ponto P = 1,2 , 3 sobre o plano que contém os pontos A = 5,6 , 0 ,B = 0,2 , 2eC = 1,0 , 4 .