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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 38

Prove a parte (d) do Teorema 3.5.1. [Sugestão: prove o resultado primeiro no caso]

w → = i → = 1 , 0 , 0 , depois no caso w → = j → = 0 , 1 , 0 e no último caso

w → = k → = 0 , 0 , 1 ,

Passo 1

Nessa questão precisamos provar u × v × w = u ∙ w v - u ∙ v w  

Então, vamos primeiro desenvolver um lado e depois desolver o outro lado da equação.

Como são vetores no espaço, vamos usar de três coordenadas.

Passo 2

Desenvolvendo u × v × w

u × v × w = u × i → j → k → v x v y v z w x w y w z

= u × i → v y v z w y w z - j → v x v z w x w z + k → v x v y w x w y

= u × v y w z - v z w y , - v x w z + v z w x , v x w y - v y w x

= u x , u y , u z × v y w z - v z w y , - v x w z + v z w x , v x w y - v y w x

= i → j → k → u x u y u z v y w z - v z w y - v x w z + v z w x v x w y - v y w x

= i → u y u z - v x w z + v z w x v x w y - v y w x - j → u x u z v y w z - v z w y v x w y - v y w x

+ k → u x u y v y w z - v z w y - v x w z + v z w x

= ( u y v x w y - u y v y w x + u z v x w z - u z v z w x , - u x v x w y + u x v y w x + v z v 2 w z - u z v z w 2 , - u x v x w z + u x v z w x - u y v y w z + u y v z w y )

Passo 3

Agora, vamos desenvolver u ∙ w v - u ∙ v w

= u x w x + u y w y + u z w z v x ,   v y ,   v z - u x v x + u y v y + u z v z w x ,   w y ,   w z

= v x u x w x + v y u x w y + v z u x w y v x u y w x + v y u y w y + v z u y w z v x u z w x + v y u z w y + v z u z w z - v x u x w x + v y u y w x + v z u z w x v x u x w y + v y u y w y + v z u z w y v x u x w z + v y u y w z + v z u z w z

= ( u y v x w y - u y v y w x + u z v x w z - u z v z w x , - u x v x w y + u x v y w x + v z v 2 w z - u z v z w 2 , - u x v x w z + u x v z w x - u y v y w z + u y v z w y )

Como ambos os Passos são iguais, demonstramos que u × v × w = u ∙ w v - u ∙ v w  

Resposta

u × v × w = u ∙ w v - u ∙ v w  

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Se u → = 3 i → - j → - 2 k → , v → = 2 i → + 4 j → - k → e w → = - i → + k → , determinar:b) ( 2 v → ) × ( 3 v → )
Se u → = 3 i → - j → - 2 k → , v → = 2 i → + 4 j → - k → e w → = - i → + k → , determinar:d) ( u → × v → ) × ( v → × u → )
Com base na Figura 3.14, calcularb) B A → × B C →
Com base na Figura 3.14, calcularc) A B → × D C →
Com base na Figura 3.14, calculara) A B → × A D →