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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 28

Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Sendo U um subespaço vetorial de V , indiquemos por E : V → U a projeção ortogonal de V sobre U . Provar que E é sobrejetora, isto é, I m E = U .

Passo 1

Estas questões bem teóricas sempre dão um trabalho para conseguirmos entender e resolver. Ajuda bastante nestas resoluções nós termos um domínio dos teoremas e propriedades até hoje já estudados.

Detalhem que foi dito “até hoje”. Duas palavras cuja consequência... desastrosa. Vamos usar conceitos visto lá no capítulo de transformações lineares. Isto sem nem contar os conceitos de espaço e subespaço vetorial, né!

Mas não se assustem. Se a gente analisar ponto por ponto, com bastante calma, conseguiremos resolver a questão.

Passo 2

Então, vamos ao que importa. Temos uma transformação linear (projeção ortogonal) E : V → U . Durante a explicação no livro sobre esta transformação, foi provado que o núcleo desta transformação é:

ker ⁡ E = U ⊥

Isto é, o núcleo de E é o complemento ortogonal de U . Também sabemos que:

V = U ⊕ U ⊥

Isto é, o espaço vetorial V é soma direta dos subespaços U e U ⊥ . Em outras palavras, a interseção de U ⊥ e U é o conjunto vazio.

E esta é a primeira parte da resolução.

Passo 3

Agora temos que ir mais além. Vamos voltar a relações antigas para complementar e provar que a transformação E é sobrejetora.

Para isto, vamos voltar a relação do núcleo e imagem de uma função. Sabemos que a interseção de ker ⁡ E e I m E é o conjunto vazio.

Do teorema do núcleo e imagem, também sabemos que:

dim ⁡ V = dim ⁡ ker ⁡ E + dim ⁡ I m E

Só que como o ker ⁡ E = U ⊥ . Portanto,

dim ⁡ V = dim ⁡ U ⊥ + dim ⁡ I m E

dim ⁡ I m E = dim ⁡ V - dim ⁡ U ⊥

Mas nós não dizemos anteriormente que V = U ⊕ U ⊥ ? Então, também podemos escrever que:

dim ⁡ V = dim ⁡ U ⊥ + dim ⁡ U

dim ⁡ U = dim ⁡ V - dim ⁡ U ⊥

Portanto,

dim ⁡ U = dim ⁡ I m E

Associando esta relação de mesma dimensão ao fato de que a interseção de I m E com ker ⁡ E = U ⊥ e também a interseção de U com U ⊥ é o conjunto vazio, chegamos à conclusão que a imagem de E é o subsespaço U .

Logo, a transformação E é sobrejetora.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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