No espaço vetorial consideremos o produto interno definido por . Dada uma matriz , seja o operador linear definido por , . Mostre que é uma isometria se, e somente se, é uma matriz ortogonal.

Vamos trabalhar com os traços de uma matriz. Mas, antes disto, precisamos em si chegar a algum traço, não é?

Para chegarmos a estes traços vamos ter que aplicar a definição do nosso produto interno. Com isto, teremos:

Massa! Chegamos a alguma relação envolvendo traços! Agora, vamos aplicar uma propriedade de traço que nos diz o seguinte:

Então, tanto faz a ordem do produto das matrizes. Com isto, podemos fazer o seguinte:

Agora vamos ter que analisar o que está ocorrendo com as nossas matrizes.

Mas, muita calma galera! Muito cuidado nesta hora!!! Não podemos pegar o que está dentro de cada traço e comparar diretamente! No caso em que fizemos não podemos dizer que ! Isto nem sempre é verdade!

Vejam só o seguinte, a única forma de multiplicarmos uma matriz por e mantermos o traço, isto é,

É que esta matriz seja igual a matriz identidade . Qualquer outra matriz diferente da identidade nos ocasionará em um diferente traço.

Sendo assim, comparando a relação , para que a relação acima seja verdade, temos que ter:

E a relação acima só acontece se a transposta da matriz for igual a sua inversa, . E se isto ocorre, significa dizer que é uma matriz ortogonal.

Portanto, só será uma isometria se for ortogonal.