Seja P : R m → W a projeção ortogonal de R m no subespaço W .

  1. Prove que P 2 = P
  2. O que o resultado da parte (a) implica sobre a composta P ∘ P ?
  3. Mostre que P é simétrica.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o item “a”, temos que provar que P 2 = P .

Sabemos que a projeção ortogonal é definida como:

P = A A T A - 1 A T

Portanto:

P 2 = A A T A - 1 A T 2 = A A T A - 1 A T A A T A - 1 A T

A multiplicação de matrizes é associativa, portanto:

P 2 = A A T A - 1 A T A A T A - 1 A T

P 2 = A 1 A T A - 1 A T

Podemos então inferir que:

P 2 = P

Passo 2

O resultado do item “a” implica que a composta P ∘ P = P .

Para o item “c” temos que mostrar que P é simétrica. Temos que:

P T = A A T A - 1 A T T

Desenvolvendo, temos que:

P T = A A T A - 1 T A T T

Sabendo que A T T = A , temos que:

P T = A T A T A - 1 T A

P T = A T A T A T - 1 A

P T = A T A T T A T - 1 A

Ou:

P T = A T A A T - 1 A

Portanto:

P T = P

Provando assim sua simetria.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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