7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.

(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b → = 3 2 1

(b) A = 1 3 - 2 - 6 3 9 ; b → = 1 0 1

(c) A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1 ; b → = 7 0 - 7

Passo 1

(a) O sistema normal vai ser:

A T A x → = A T b →

Fazendo A T A :

A T A = 2 4 - 2 1 2 1 2 1 4 2 - 2 1

A T A = 2 4 8 8 6

Agora fazendo A T b → :

A T b → = 2 4 - 2 1 2 1 3 2 1

A T b → = 1 2 8

O sistema normal:

24 8 8 6 x 1 x 2 = 12 8

Passo 2

Vamos escalonar:

24 24 8 24 8 6 x 1 x 2 = 12 24 8

1 1 3 8 6 x 1 x 2 = 1 2 8

Fazendo (linha 2)=(linha 2)-8(linha 1):

1 1 3 8 - 8 6 - 8 1 3 x 1 x 2 = 1 2 8 - 8 1 2

1 1 3 0 10 3 x 1 x 2 = 1 2 4

Escrevendo o sistema e resolvendo:

x 1 + 1 3 x 2 = 1 2 10 3 x 2 = 4

x 2 = 6 5

x 1 + 1 3 6 5 = 1 2

x 1 = 1 2 - 1 3 6 5

x 1 = 1 10

Então a solução é:

x 1 x 2 = 1 10 6 5

Passo 3

Achando o erro:

e → = b → - A x →

e → = 3 2 1 - 2 1 4 2 - 2 1 1 10 6 5

e → = 8 5 - 4 5 0

Resposta

x 1 x 2 = 1 10 6 5

e → = 8 5 - 4 5 0

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