Seja M a matriz da Equação 10 . Usando o Exercício 6 , mostre que uma condição suficiente para a matriz M T M ser invertível é que n > m e que pelo menos m + 1 dos números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são distintos.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar a seguinte matriz:

M = 1 1 ⋮ 1       x 1 x 2 ⋮ x n       x 1 2 x 2 2 ⋮ x n 2       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       x 1 m x 2 m ⋮ x n m

A transposta desta matriz é dada por:

M = 1 x 1 x 1 2 ⋮ x 1 m       1 x 2 x 2 2 ⋮ x 2 m       ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       1 x n x n 2 ⋮ x n m

Então, temos que M T M será uma matriz quadrada m + 1 × m + 1 .

Se n > m e pelo menos m + 1 dos números x 1 ,   x 2 ,   ⋯ ,   x n são distintos, as colunas serão linearmente independentes.

Portanto, pelo Teorema da Matriz Inversa, a matriz quadrada com colunas linearmente independentes será invertível.

Nos levando a concluir que uma determinada condição é suficiente para determinar que M T M seja invertível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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