Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 16
Mostre que se A é uma matriz invertível, então A+B e são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.
Passo 1
Vamos para mais uma resolução?!
Vamos começar com a soma matricial:
A + B
Multiplicando isso por :
E pela distributiva:
Passo 2
Pelas propriedades matriciais sabemos que se A é uma matriz invertível, então
Assim, podemos afirmar que:
Portanto:
Passo 3
Ainda pelas propriedades matriciais, sabemos que o produto de duas matrizes invertíveis é também invertível. Como nos foi dado que A é uma matriz invertível e, portanto, também é invertível, sabemos que o resultado do produto:
Será invertível caso (A + B) o seja.
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.
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[[5,x_1,+,3,x_2,+,2,x_3,=,4],[3,x_1,+,3,x_2,+,2 x_3,=,2],[0,x_1,+,3,x_2,+,x_3,=,5]]
[[x_1,+,3,x_2,+,x_3,=,4],[2,x_1,+,2,x_2,+,x_3,=,-,1],[2,x_1,+,3,x_2,+,x_3,=,3]]
[[x,+,y,+,z,=,5],[x,+,y,-,4,z,=,10],[-,4,x,+,y,+,z,=,0]]
Use a parte (c) do Exercício 22 para mostrar que d A - 1 d x = - A - 1 d A - 1 d x A - 1 Enuncie todas as hipóteses necessárias para obter essa fórmula.
Supondo que as inversas envolvidas existam, prove as igualdades a seguir. C - 1 + D - 1 - 1 = C C + D - 1 D I + C D - 1 C = C I + D C - 1 C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1