1. Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, ad – bc 0 e neste caso a inversa é dada por

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Passo 1

Vamos lá para mais uma resolução!

Primeiro, vamos construir uma matriz aumentada com a matriz A e uma matriz identidade 2x2:

A I = a b c d 1 0 0 1

Realizando a multiplicação por

1 0 - c a 1

1 0 - c a 1 ∙ a b c d 1 0 0 1 = a b 0 a d - b c a 1 0 - c a 1  

Realizando mais algumas multiplicações:

1 0 0 a a d - b c ∙ a b 0 a d - b c a 1 0 - c a 1 = a b 0 1 1 0 - c a d - b c a a d - b c

1 a 0 0 1 ∙ a b 0 1 1 0 - c a d - b c a a d - b c = 1 b a 0 1 1 a 0 - c a d - b c a a d - b c

1 - b a 0 1 ∙ 1 b a 0 1 1 a 0 - c a d - b c a a d - b c = 1 0 0 1 d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

Passo 2

A partir da segunda metade da matriz aumentada, temos que:

A - 1 = d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

Que pode ser reescrito como

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Passo 3

Sabemos que A só e invertível se e somente se ad – bc 0 pois

A - 1 = d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

E para ad – bc = 0 temos uma indeterminação, fazendo com que a inversa não exista.

Resposta

A demonstração está contida ao longo dos passos da resolução.

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