Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 10a
- Mostre que a matriz A = é invertível se, e somente se, ad – bc 0 e neste caso a inversa é dada por
Passo 1
Vamos lá para mais uma resolução!
Primeiro, vamos construir uma matriz aumentada com a matriz A e uma matriz identidade 2x2:
Realizando a multiplicação por
Realizando mais algumas multiplicações:
Passo 2
A partir da segunda metade da matriz aumentada, temos que:
Que pode ser reescrito como
Passo 3
Sabemos que A só e invertível se e somente se ad – bc 0 pois
E para ad – bc 0 temos uma indeterminação, fazendo com que a inversa não exista.
Resposta
A demonstração está contida ao longo dos passos da resolução.
Exercícios de Livros Relacionados
Prove: se A for invertível, então A + B e I + B A - 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.
Prove: se B dor invertível, então A B^(- 1) = B^(- 1) A se, e só se, A B = B A .
Nos Exercícios 9 – 12 , resolva simultaneamente os sistemas lineares reduzindo a matriz aumentada apropriada. 12 . x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = b 1 - x 1 - 2 x 2= b 2 2 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = b 3 (i) b 1 = 1
Seja A uma matriz quadrada inversível. Mostre que A - 1 também é inversível e queA - 1 - 1 = A
Sejam A ,B e C matrizes reais de ordem n . Se A é inversível, prove que A B = A C ⟹ B = C e que B A = C A⟹ B = C .