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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 35

A = [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]]

Passo 1

Bom galerinha, ele quer a gente encontre a inversa de A , e pra isso ele deu a maravilinda sugestão de resolver o sistema A X = I , onde X = A^(- 1) igualando os termos, desse jeito

A X = I => [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Onde

A^(- 1) = [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]]

Como a voz do povo é a voz de Deus, e o povo clama por escutar a sugestão do Livro, vamos nessa!

Passo 2

Vamos abrir esse produto em sistema gigante de equações, assim ó:

[[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] => {[[a,+,0,b,+,g,=,1],[a,+,d,+,0,g,=,0],[0,a,+,d,+,g,=,0]]) , {[[b,+,0,e,+,h,=,0],[b,+,e,+,0,h,=,1],[0,b,+,e,+,h,=,0]]) , {[[c,+,0,f,+,i,=,0],[c,+,f,+,0,i,=,0],[0,c,+,f,+,i,=,1]])

Passo 3

Agora que a gente montou esses sistemas que vem a parte legal, porque a agora podemos escrever esses sistemas na forma matricial

{[[a,+,0,d,+,g,=,1],[a,+,d,+,0,g,=,0],[0,a,+,d,+,g,=,0]]) = [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[a],[d],[g]]] = [[[1],[0],[0]]]

{[[b,+,0,e,+,h,=,0],[b,+,e,+,0,h,=,1],[0,b,+,e,+,h,=,0]]) = [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[b],[e],[h]]] = [[[0],[1],[0]]]

{[[c,+,0,f,+,i,=,0],[c,+,f,+,0,i,=,0],[0,c,+,f,+,i,=,1]]) = [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[c],[f],[i]]] = [[[0],[0],[1]]]

Agora esses sistemas a gente consegue resolver pela Eliminação de Gauss-Jordan né, e se eles tiverem solução única, então nossa matriz é invertível.

Passo 4

Então bora resolver eles

[[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[a],[d],[g]]] = [[[1],[0],[1]]] => [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] = [[[1],[0],[0]]] => L_2 = L_2 - L_1 => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,1,1]],[[1],[-,1],[0]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,-,L_2]] => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,0,2]],[[1],[-,1],[1]]] => [[],[],[L_3,=,(L_3)/(2)]] => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,0,1]],[[1],[-,1],[(1)/(2)]]] =>

=> [[L_1,=,L_1,-,L_3],[L_2,=,L_2,+,L_3],[]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[(1)/(2)],[-,(1)/(2)],[(1)/(2)]]]

Logo a = (1)/(2) , d = - (1)/(2) e g = (1)/(2) .

[[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[b],[e],[h]]] = [[[0],[1],[0]]] => [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] = [[[0],[1],[0]]] => L_2 = L_2 - L_1 => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,1,1]],[[0],[1],[0]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,-,L_2]] => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,0,2]],[[0],[1],[-,1]]] => [[],[],[L_3,=,(L_3)/(2)]] => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,0,1]],[[0],[1],[-,(1)/(2)]]] =>

=> [[L_1,=,L_1,-,L_3],[L_2,=,L_2,+,L_3],[]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[(1)/(2)],[(1)/(2)],[-,(1)/(2)]]]

Logo b = (1)/(2) , e = (1)/(2) e h = - (1)/(2) .

[[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[c],[f],[i]]] = [[[0],[0],[1]]] => [[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]] = [[[0],[0],[1]]] => L_2 = L_2 - L_1 => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,1,1]],[[0],[0],[1]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,-,L_2]] => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,0,2]],[[0],[0],[1]]] => [[],[],[L_3,=,(L_3)/(2)]] => [[[1,0,1],[0,1,-,1],[0,0,1]],[[0],[0],[(1)/(2)]]] =>

=> [[L_1,=,L_1,-,L_3],[L_2,=,L_2,+,L_3],[]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[-,(1)/(2)],[(1)/(2)],[(1)/(2)]]]

Logo c = - (1)/(2) , f = (1)/(2) e i = (1)/(2)

Passo 5

Agora ficou show de bola, encontramos todos os termo e é só jogar na forma de matriz

a = (1)/(2) , d = - (1)/(2) e g = (1)/(2) .

b = (1)/(2) , e = (1)/(2) e h = - (1)/(2) .

c = - (1)/(2) , f = (1)/(2) e i = (1)/(2)

A^(- 1) = [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[-,(1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)],[(1)/(2),-,(1)/(2),(1)/(2)]]]

Resposta

A^(- 1) = [[[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[-,(1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)],[(1)/(2),-,(1)/(2),(1)/(2)]]]

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Seja J n a matriz nxn, cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n1, então ( I n - J n ) - 1 = I n - 1 n - 1 J n
Sejam A e B matrizes nxn. Mostre que se B não é invertível, então AB também não o é.
Mostre que se ad – bc ≠ 0, então o sistema linear a x + b y = g c x + d y = h tem solução x = g d - b h a d - b c , y = a h - g c a d - b c
Se A é uma matriz nxn e A k = 0 , para k um inteiro positivo, mostre que ( I n - A ) - 1 = I n + A + A 2 + … + A k - 1